Question

（本小題滿分12分）設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2)是函數(shù)f(x)=的圖象上任意兩點，且，已知點M的橫坐標(biāo)為.

求證：M點的縱坐標(biāo)為定值；

若Sn=f(∈N*，且n≥2,求Sn;

已知an=，其中n∈N*.

Tn為數(shù)列{an}的前n項和，若Tn＜λ(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立，試求λ的取值范圍.

 

Answer 1

（1）見解析；（2）Sn=；（3）（+∞）.

【解析】

試題分析：（1）依題意M是AB的中點，得x1+x2=1，而y=(y1+y2)= ［f(x1)+f(x2)］利用解析式可得y=,即縱坐標(biāo)為定值；（2）由（1）知x1+x2=1,則f(x1)+f(x2)=1,而Sn=f(觀察特點，利用倒序相加求和可得Sn=；（3）由（2）可得，利用裂項相消求和可得，代入Tn＜λ(Sn+1+1)轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決,從而得λ＞.

試題解析：（1）證明：∵ ∴M是AB的中點.設(shè)M點的坐標(biāo)為（x,y）,

由（x1+x2）=x=,得x1+x2=1，則x1=1-x2或x2=1-x1.

而y=(y1+y2)= ［f(x1)+f(x2)］ =(+log2

=(1+log2 =(1+log2

=(1+log2

∴M點的縱坐標(biāo)為定值.

（2）由（1）知x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,

Sn=f(

Sn=f(,

兩式相加得：2Sn=［f()+［f()+…+［f()

= ∴Sn=(n≥2,n∈N*).

(3)當(dāng)n≥2時,an=

Tn=a1+a2+a3+…+an=［() =(

由Tn＜λ(Sn+1+1)得＜λ· ∴λ＞

∵n+≥4,當(dāng)且僅當(dāng)n=2時等號成立,∴

因此λ＞，即λ的取值范圍是（+∞）.

考點：函數(shù)和數(shù)列的綜合問題