Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)分別為，橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，若直線(xiàn)與該橢圓交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率互為相反數(shù).

①求證：直線(xiàn)的斜率為定值；

②若點(diǎn)在第一象限，設(shè)與的面積分別為，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2) ①見(jiàn)解析，②

【解析】試題分析：（1）通過(guò)將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合離心率為計(jì)算即得結(jié)論；

（2）通過(guò)（1）可知A（2，0）、B（0，1）．①通過(guò)設(shè)直線(xiàn)的方程為，則由題意直線(xiàn)的方程為，分別與橢圓方程聯(lián)立，計(jì)算可知P、Q，利用斜率計(jì)算公式計(jì)算即可；②通過(guò)①可知P、Q，利用點(diǎn)P在第一象限可知，分別計(jì)算出點(diǎn)P、Q到直線(xiàn)AB的距離，利用三角形面積公式計(jì)算、結(jié)合基本不等式化簡(jiǎn)即得結(jié)論．

試題解析：

（1）由題意，離心率，所以，所以，

故橢圓的方程為，將點(diǎn)代入，求得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）①設(shè)直線(xiàn)的方程為，則由題意直線(xiàn)的方程為，

由，得，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，

同理可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為.

所以直線(xiàn)的斜率為.

②設(shè)兩點(diǎn)到直線(xiàn)的距離分別為，

因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，則點(diǎn)必在第三象限，

所以，且點(diǎn)分別在直線(xiàn)的上、下兩側(cè)，

所以，

從而，

，

所以，

令，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)， 有最大值為.