【題目】已知函數f(x)=2cos2ωx+ sin2ωx(ω>0)的最小正周期為π,給出下列四個命題:
①f(x)的最大值為3;
②將f(x)的圖象向左平移 后所得的函數是偶函數;
③f(x)在區(qū)間[﹣ , ]上單調遞增;
④f(x)的圖象關于直線x= 對稱.
其中正確說法的序號是( )
A.②③
B.①④
C.①②④
D.①③④
【答案】D
【解析】解:f(x)=2cos2ωx+ sin2ωx(ω>0),
=1+cos2ωx+ sin2ωx,
=2sin(2ωx+ )+1,
f(x)的最小正周期為π,根據周期公式可知:ω=1,
∴f(x)=2sin(2x+ )+1,
由正弦函數性質可知,f(x)的最大值為3,故①正確;
將f(x)的圖象向左平移 后所得的函數為f(x)=2sin(2x+ )+1,不是偶函數,故②錯誤;
令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ,解得:kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,
∴x∈[kπ﹣ ,kπ+ ],f(x)單調遞增,
∴f(x)在區(qū)間[﹣ , ]上單調遞增,
故③正確;
令2x+ =kπ+ ,解得x= + ,f(x)的圖象關于直線x= 對稱,故④正確;
故答案選:D.
【考點精析】本題主要考查了函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換的相關知識點,需要掌握圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數的圖象;再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長(縮短)到原來的倍(縱坐標不變),得到函數的圖象;再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標不變),得到函數的圖象才能正確解答此題.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓的右頂點與上頂點分別為,橢圓的離心率為,且過點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)如圖,若直線與該橢圓交于兩點,直線的斜率互為相反數.
①求證:直線的斜率為定值;
②若點在第一象限,設與的面積分別為,求的最大值.
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【題目】已知圓C經過P(4,-2),Q(-1,3)兩點,且在y軸上截得的線段長為4,半徑小于5.
(Ⅰ)求直線PQ與圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l∥PQ,直線l與圓C交于點A,B且以線段AB為直徑的圓經過坐標原點,求直線l的方程.
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【題目】如圖1,平行四邊形ABCD中,AB=2AD,∠DAB=60°,M是BC的中點.將△ADM沿DM折起,使面ADM⊥面MBCD,N是CD的中點,圖2所示.
(Ⅰ)求證:CM⊥平面ADM;
(Ⅱ)若P是棱AB上的動點,當 為何值時,二面角P﹣MC﹣B的大小為60°.
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【題目】在約束條件 下,當t≥0時,其所表示的平面區(qū)域的面積為S(t),S(t)與t之間的函數關系用下列圖象表示,正確的應該是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】對某校高一年級學生參加社區(qū)服務次數進行統(tǒng)計,隨機抽取名學生作為樣本,得到這名學生參加社區(qū)服務的次數.根據此數據作出了頻數與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:
(1)求出表中及圖中的值;
(2)若該校高一學生有800人,試估計該校高一學生參加社區(qū)服務的次數在區(qū)間內的人數.
【答案】(1), , ;(2)人.
【解析】試題分析:(1)由題意, 內的頻數是10,頻率是0.25知, ,所以,則, .(2)高一學生有800人,分組內的頻率是,人數為人.
試題解析:
(1)由內的頻數是10,頻率是0.25知, ,所以.
因為頻數之和為40,所以, .
.
因為是對應分組的頻率與組距的商,所以.
(2)因為該校高一學生有800人,分組內的頻率是,
所以估計該校高一學生參加社區(qū)服務的次數在此區(qū)間內的人數為人.
【題型】解答題
【結束】
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【題目】已知直線經過拋物線的焦點,且與交于兩點.
(1)設為上一動點, 到直線的距離為,點,求的最小值;
(2)求.
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【題目】某公司引進一條價值30萬元的產品生產線,經過預測和計算,得到生產成本降低萬元與技術改造投入萬元之間滿足:①與和的乘積成正比;②當時, ,并且技術改造投入比率, 為常數且.
(1)求的解析式及其定義域;
(2)求的最大值及相應的值.
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【題目】對于實數x,符號[x]表示不超過x的最大整數,例如[π]=3,[﹣1.08]=﹣2,定義函數f(x)=x﹣[x],則下列命題中正確的是
①函數f(x)的最大值為1; ②函數f(x)的最小值為0;
③方程有無數個根; ④函數f(x)是增函數.
A. ②③ B. ①②③ C. ② D. ③④
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【題目】已知數列{an}滿足a1=1,且anan+1=2n , n∈N* , 則數列{an}的通項公式為( )
A.an=( )n﹣1
B.an=( )n
C.an=
D.an=
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