Question

4．如圖是一個(gè)半徑為1的半圓，AB是直徑，點(diǎn)C在圓弧上且與A、B不重合，△ACD是等邊三角形，設(shè)∠CAB=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）．
（1）將四邊形ABCD的面積S表示為θ的函數(shù)；
（2）求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出△ABC的面積S_△ABC，再求出等邊三角形△ACD的面積S_△ACD，計(jì)算四邊形ABCD的面積即可；
（2）根據(jù)數(shù)據(jù)函數(shù)的恒等變換，求S的最大值即可．

解答 解：（1）在△ABC中，AB是直徑，∴∠ACB=$\frac{π}{2}$；
∵∠CAB=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
∴AC=AB•cos∠CAB=2cosθ，
BC=AB•sin∠CAB=2sinθ；
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC
=$\frac{1}{2}$×2cosθ×2sinθ
=2sinθcosθ
=sin2θ，
等邊三角形△ACD中，AC=2cosθ，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$×AC²•sin$\frac{π}{3}$
=$\frac{1}{2}$×（2cosθ）²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\sqrt{3}$cos²θ
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴四邊形ABCD的面積為
S=S_△ABC+S_△ACD
=sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）∵S=sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{\sqrt{7}}{2}$sin（2θ+α）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中tanα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴當(dāng)2θ+α=$\frac{π}{2}$時(shí)，S取得最大值是$\frac{\sqrt{7}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
此時(shí)θ=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$arctan$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用問題，也考查了求三角形的面積的應(yīng)用問題，是綜合性題目．