【題目】已知函數(shù).

(1)若滿足上奇函數(shù)且上偶函數(shù),求的值;

(2)若函數(shù)滿足恒成立,函數(shù),求證:函數(shù)是周期函數(shù),并寫出的一個正周期;

(3)對于函數(shù),,若恒成立,則稱函數(shù)是“廣義周期函數(shù)”, 是其一個廣義周期,若二次函數(shù)的廣義周期為不恒成立),試利用廣義周期函數(shù)定義證明:對任意的,,成立的充要條件是.

【答案】(1)0;(2)證明見解析,正周期為24;(3)證明見解析

【解析】

1)根據(jù)奇偶函數(shù)得到關于等式,對等式進行變形可得到的周期,再采用賦值的方法計算出的值;

2)討論的關系,然后根據(jù)周期的公倍數(shù)可求得的一個正周期;

3)從充分性和必要性兩個方面分別證明.

1)因為滿足上奇函數(shù),所以,所以,

又因為滿足上偶函數(shù),所以,所以

所以有,所以,所以,

所以,所以的一個周期為,

又因為,所以,又因為,所以,

又因為,所以,所以;

(2)因為,

所以,

因為,所以

所以是周期函數(shù),一個正周期為;

(3)充分性:當時,,

此時,所以充分性滿足;

必要性:因為二次函數(shù)的廣義周期為,

所以,所以,

所以,又因為不恒成立,

所以,所以

又因為,所以,

可知:,即,所以必要性滿足.

所以:對任意的,成立的充要條件是.

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