【題目】已知函數(shù).

（1）若滿足為上奇函數(shù)且為上偶函數(shù)，求的值；

（2）若函數(shù)滿足對恒成立，函數(shù)，求證：函數(shù)是周期函數(shù)，并寫出的一個正周期；

（3）對于函數(shù)，，若對恒成立，則稱函數(shù)是“廣義周期函數(shù)”， 是其一個廣義周期，若二次函數(shù)的廣義周期為（不恒成立），試利用廣義周期函數(shù)定義證明：對任意的，，成立的充要條件是.

【答案】（1）0；（2）證明見解析，正周期為24；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)奇偶函數(shù)得到關(guān)于等式，對等式進行變形可得到的周期，再采用賦值的方法計算出的值；

（2）討論與的關(guān)系，然后根據(jù)與周期的公倍數(shù)可求得的一個正周期；

（3）從充分性和必要性兩個方面分別證明.

（1）因為滿足為上奇函數(shù)，所以，所以，

又因為滿足為上偶函數(shù)，所以，所以，

所以有，所以，所以，

所以，所以的一個周期為，

又因為，所以，又因為，所以，

又因為，所以，所以；

（2）因為，

所以，

因為，所以，

所以是周期函數(shù)，一個正周期為；

（3）充分性：當時，，

此時，所以充分性滿足；

必要性：因為二次函數(shù)的廣義周期為，

所以，所以，

所以，又因為不恒成立，

所以，所以，

又因為，所以，，

由可知：，即，所以必要性滿足.

所以：對任意的，，成立的充要條件是.

練習冊系列答案
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【題目】已知拋物線（），點在的焦點的右側(cè)，且到的準線的距離是到距離的3倍，經(jīng)過點的直線與拋物線交于不同的、兩點，直線與直線交于點，經(jīng)過點且與直線垂直的直線交軸于點.

（1）求拋物線的方程和的坐標；

（2）判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）橢圓的兩焦點為、，在橢圓外的拋物線上取一點，若、的斜率分別為、，求的取值范圍.

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（1）若，試討論函數(shù)的單調(diào)性；

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（1）設(shè)，試問是否是“型函數(shù)”？若是，求出實數(shù)的值；若不是，請說明理由；

（2）設(shè)對于任意都是“型函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】如圖，直線平面，四邊形是正方形，且，點，，分別是線段，，的中點.

(1)求異面直線與所成角的大小(結(jié)果用反三角表示)；

(2)在線段上是否存在一點，使，若存在，求出的長，若不存在，請說明理由.

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【題目】如果數(shù)列對于任意，都有，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列是“間等差數(shù)列”，為“間公差”.若數(shù)列滿足，，.

（1）求證：數(shù)列是“間等差數(shù)列”，并求間公差；

（2）設(shè)為數(shù)列的前n項和，若的最小值為-153，求實數(shù)的取值范圍；

（3）類似地：非零數(shù)列對于任意，都有，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列是“間等比數(shù)列”，為“間公比”.已知數(shù)列中，滿足，，，試問數(shù)列是否為“間等比數(shù)列”，若是，求最大的整數(shù)使得對于任意，都有；若不是，說明理由.

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【題目】下圖為函數(shù)的部分圖象，、是它與軸的兩個交點，、分別為它的最高點和最低點，是線段的中點，且為等腰直角三角形.

（1）求的解析式；

（2）將函數(shù)圖象上的每個點的橫坐標縮短為原來的一半，再向左平移個單位長度得到的圖象，求的解析式及單調(diào)增區(qū)間，對稱中心.

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【題目】已知函數(shù)．

（I）求的單調(diào)區(qū)間；

（II）討論在上的零點個數(shù)．

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