Question

6．已知函數(shù)f（x）=log₂（|x+1|+|x-1|-a）．
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=4代入函數(shù)解析式，由真數(shù)大于0結(jié)合絕對(duì)值的幾何意義得答案；
（2）把函數(shù)f（x）的定義域是R，轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，|x+1|+|x-1|-a＞0恒成立，分離a后再由絕對(duì)值的幾何意義得答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=log₂（|x+1|+|x-1|-4）．
由|x+1|+|x-1|-4＞0，結(jié)合絕對(duì)值的幾何意義如圖，
可得x＜-2或x＞2．
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-2）∪（2，+∞）；
（2）要使函數(shù)f（x）的定義域是R，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，|x+1|+|x-1|-a＞0恒成立，
即a＜|x+1|+|x-1|恒成立，
由絕對(duì)值的幾何意義可知，（|x+1|+|x-1|）_min=2，
∴a＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了絕對(duì)值的幾何意義，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．