Question

當x＞0時，證明：不等式e^x＞1+x+

1

2

x²成立．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題

分析：構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-1-x-

1

2

x2，通過計算發(fā)現(xiàn)f（0）=0，只需證明f（x）在[0+∞）上為增函數(shù)即可，問題轉(zhuǎn)化為證明f'（x）＞0，再令g（x）=f'（x），通過計算又發(fā)現(xiàn)g（0）=0，只需證明g（x）在[0+∞）上為增函數(shù)即可，問題轉(zhuǎn)化為證明g'（x）＞0，而此式容易證明．

解答： 證明：令f(x)=ex-1-x-

1

2

x2，
則f'（x）=e^x-1-x，
再令g（x）=f'（x），則g'（x）=e^x-1，
∵x＞0，∴e^x-1＞0，即g'（x）＞0，
∴g（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
由于x＞0，則g（x）＞g（0）=e⁰-1=0，即f'（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
由x＞0知，f(x)＞f(0)=e0-1-0-

1

2

×02=0，
即e^x-（1+x+

1

2

x²）＞0，
∴e^x＞1+x+

1

2

x²，得證．

點評：1．當求證不等式是由幾個基本初等函數(shù)構(gòu)成的比較復(fù)雜的條件不等式，可考慮通過構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而達到證明的目的．
2．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是近幾年高考的熱點之一，證明f（x）＞g（x）的一般步驟是：
（1）構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）；
（2）求h'（x）；
（3）判斷h（x）的單調(diào)性；
（4）求h（x）的最小值或值域；
（5）證明[h（x）]_min＞0成立；
（6）得出結(jié)論．