Question

7．已知函數(shù)f（x）=a^x-1+log_ax在區(qū)間[1，2]上的最大值和最小值之和為a，則實(shí)數(shù)a為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由于函數(shù)y=a^x-1 和y=log_ax有相同的單調(diào)性，所以分0＜a＜1和a＞1兩種情況討論，分別求出其最大（小）值，列出關(guān)于a的方程求解．

解答 解：分兩類討論，過(guò)程如下：
①當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=a^x-1 和y=log_ax在[1，2]上都是增函數(shù)，
∴f（x）=a^x-1+log_ax在[1，2]上遞增，
∴f（x）_max+f（x）_min=f（2）+f（1）=a+log_a2+1=a，
∴l(xiāng)og_a2=-1，得a=$\frac{1}{2}$，舍去；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=a^x-1 和y=log_ax在[1，2]上都是減函數(shù)，
∴f（x）=a^x-1+log_ax在[1，2]上遞減，
∴f（x）_max+f（x）_min=f（2）+f（1）=a+log_a2+1=a，
∴l(xiāng)og_a2=-1，得a=$\frac{1}{2}$，符合題意；
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及函數(shù)的單調(diào)性和最值，體現(xiàn)了分類討論的解題思想，屬于中檔題．