【題目】已知函數(shù)為常數(shù)).

(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)設(shè)可求導(dǎo)數(shù),且它的導(dǎo)函數(shù)仍可求導(dǎo)數(shù),則再次求導(dǎo)所得函數(shù)稱(chēng)為原函數(shù)的二階函數(shù),記為,利用二階導(dǎo)函數(shù)可以判斷一個(gè)函數(shù)的凹凸性.一個(gè)二階可導(dǎo)的函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)的充要條件是這個(gè)函數(shù)在的二階導(dǎo)函數(shù)非負(fù).

不是凸函數(shù),的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)上是單調(diào)減函數(shù);(Ⅱ)

【解析】

試題(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;

(2)求出函數(shù)g(x)的二階導(dǎo)數(shù),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,令h(x)=,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.

試題解析:

(I)

設(shè)

當(dāng)時(shí), , 上是單調(diào)增函數(shù),故而, 內(nèi)的唯一零點(diǎn),即內(nèi)的唯一零點(diǎn).

所以當(dāng)時(shí), ,即上是單調(diào)減函數(shù);

當(dāng)時(shí), ,即上是單調(diào)增函數(shù).

(II)

如果是凸函數(shù),那么 都有------7

即得

當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),

單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減, 所以

不是凸函數(shù),所以

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