Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|，0≤x≤1的最大值是g（a），求g（a）的解析式，并求出g（a）的最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)把函數(shù)表示為分段函數(shù)形式，結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行討論即可．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-a），}&{x≥a}\\{x（a-x），}&{x＜a}\end{array}\right.$，
若a≤0，則f（x）對(duì)應(yīng)的圖象為（1），此時(shí)函數(shù)在0≤x≤1上為增函數(shù)，則此時(shí)的最大值為f（x）_max=g（a）=g（1）=|1-a|=1-a，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{a}{2}$•|$\frac{a}{2}$-a|=$\frac{a}{2}$•|$\frac{a}{2}$|=$\frac{{a}^{2}}{4}$，f（1）=1-a，
則f（$\frac{a}{2}$）-f（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a-1=$\frac{{a}^{2}+4a-4}{4}$，
①當(dāng)a²+4a-4＞0時(shí)，解得a＞-2+2$\sqrt{2}$或a＜-2-2$\sqrt{2}$，
即-2+2$\sqrt{2}$＜a＜1時(shí)，f（$\frac{a}{2}$）-f（1）＞0，
則f（$\frac{a}{2}$）＞f（1），此時(shí)最大值為值g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
②當(dāng)a²+4a-4=0時(shí)，解得a=-2+2$\sqrt{2}$或a=-2-2$\sqrt{2}$（舍），
即a=-2+2$\sqrt{2}$時(shí)，f（$\frac{a}{2}$）-f（1）=0，
則f（$\frac{a}{2}$）=f（1），此時(shí)最大值為值g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$=1-a；
③當(dāng)a²+4a-4＜0時(shí)，解得-2-2$\sqrt{2}$＜a＜-2+2$\sqrt{2}$，
即0＜a＜-2+2$\sqrt{2}$時(shí)，f（$\frac{a}{2}$）-f（1）＜0，
則f（$\frac{a}{2}$）＜f（1），此時(shí)最大值為值g（a）=f（1）=1-a．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的最值的求解，利用絕對(duì)值的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．