Question

13．下列函數(shù)中，滿足“f（x+y）=f（x）f（y）”的單調(diào)遞增函數(shù)是（　�。�

• A． f（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$
• B． f（x）=3^x
• C． f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x
• D． f（x）=log₂x

Answer 1

分析 對于A，D可取兩個(gè)數(shù)x₀，y₀，然后可求出f（x₀+y₀）≠f（x₀）f（y₀），從而說明這兩個(gè)函數(shù)都不滿足條件“f（x+y）=f（x）f（y）”，而C為減函數(shù)，從而C也不符合條件，而選項(xiàng)B容易得出f（x+y）=f（x）f（y），顯然又是增函數(shù)，這樣便可得出正確選項(xiàng)．

解答 解：A．f（1+2）=${3}^{\frac{1}{2}}$，f（1）f（2）=${2}^{\frac{1}{2}}$；
∴該函數(shù)不滿足f（x+y）=f（x）f（y），即該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．f（x+y）=3^x+y，f（x）f（y）=3^x•3^y=3^x+y；
∴該函數(shù)滿足f（x+y）=f（x）f（y）；
又該函數(shù)為增函數(shù)，∴該選項(xiàng)正確；
C．該函數(shù)為減函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．f（1+2）=log₂3，f（1）f（2）=0；
∴該函數(shù)不滿足f（x+y）=f（x）f（y），即該選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選B．

點(diǎn)評 考查冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及指數(shù)式的運(yùn)算，已知函數(shù)求值的方法．