Question

18．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，CAB=90°，AB=AC=2，AA₁=$\sqrt{3}$，M為BC的中點，P為側(cè)棱BB₁上的動點．
（1）求證：平面APM⊥平面BB₁C₁C；
（2）試判斷直線BC₁與AP是否能夠垂直．若能垂直，求PB的長；若不能垂直，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導出AM⊥BC，AM⊥BB₁，由此能證明平面APM⊥平面BB₁C₁C．
（2）以A為原點，AC為x軸，AB為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法推導出直線BC₁與AP不能垂直．

解答 證明：（1）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，CAB=90°，
AB=AC=2，AA₁=$\sqrt{3}$，M為BC的中點，P為側(cè)棱BB₁上的動點．
∴AM⊥BC，AM⊥BB₁，
∵BC∩BB₁=B，∴AM⊥平面BB₁C₁C，
∵AM?平面APM，
∴平面APM⊥平面BB₁C₁C．
解：（2）以A為原點，AC為x軸，AB為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
B（0，2，0），C₁（2，0，$\sqrt{3}$），A（0，0，0），設(shè)BP=t，（0$≤t≤\sqrt{3}$），
則P（0，2，t），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（2，-2，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AP}$=（0，2，t），
若直線BC₁與AP能垂直，則$\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{AP}=0-4+\sqrt{3}t=0$，
解得t=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵t=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＞BB₁=$\sqrt{3}$，
∴直線BC₁與AP不能垂直．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查兩直線能否垂直的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．