Question

港口A北偏東30°方向的C處有一觀測站，港口正東方向的B處有一輪船，測得BC為31nmile，該輪船從B處沿正西方向航行20nmile后到D處，測得CD為21nmile，此時(shí)輪船離港口還有

 

nmile．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：在△BDC中，先由余弦定理可得，可求cos∠CDB，進(jìn)而可求sin∠CDB，由三角形的內(nèi)角和定理可得sin∠ACD=sin（∠CDB-60°），再在△ACD中，由正弦定理得

AD

sin∠ACD

=

CD

sinA

，由此解得AD的值．

解答： 解：由題意可得，BC=31，BD=20，CD=21，A=60°．．
△BCD中，由余弦定理可得cos∠CDB=

DB2+DC2-BC2

2DB•DC

=

212+202-312

2×21×20

=-

1

7

．
可得sin∠CDA=

1-cos2∠CDB

=

4 3

7

．
而sin∠ACD=sin（∠BDC-60°）=sin∠BDCcos60°-cos∠BDCsin60°
=

4 3

7

×

1

2

-（-

1

7

）×

3

2

=

5 3

14

．
在△ACD中，由正弦定理得

AD

sin∠ACD

=

CD

sinA

，解得AD=15（海里），
故答案為：15．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理、余弦定理、兩角差的正弦公式及三角形的內(nèi)角和定理在實(shí)際中的應(yīng)用，解決實(shí)際的問題的關(guān)鍵是要把題目中所提供的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)圖形中的長度（角度），然后根據(jù)相應(yīng)的公式來解決問題，屬于基礎(chǔ)題．