【題目】已知函數(shù)f(x)=sinxcosxcos2x+1
(1)求f(x)的最小正周期和最大值,并寫出取得最大值時x的集合;
(2)將f(x)的函數(shù)圖象向左平移φ(φ>0)個單位后得到的函數(shù)g(x)是偶函數(shù),求φ的最小值.
【答案】(1)最小正周期為Tπ,f(x)取得最大值為2,此時x的集合為{x|x=kπ,k∈Z}.(2)
【解析】
(1)由三角函數(shù)公式化簡可得f(x)=sin(2x)+1,由此可得最小正周期及最大值,由當且僅當2x2kπ,k∈Z時,f(x)取得最大值,解出x的集合;
(2)通過平移變換可得g(x)=sin(2x+2φ)+1,若函數(shù)g(x)是偶函數(shù),運用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式,令,k∈Z即可,從而得到φ的最小值.
(1)f(x)=sinxcosxcos2x+1sin2xcos2x+1=sin(2x)+1,
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為Tπ,
當且僅當2x2kπ,k∈Z時,f(x)取得最大值為2,
此時x的集合為{x|x=kπ,k∈Z}.
(2)g(x)=f(x+φ)=sin(2x+2φ)+1,
因為g(x)是偶函數(shù),
所以2φkπ,k∈Z,即φkπ,k∈Z,
所以φ的最小值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“紅燈停,綠燈行”,這是我們每個人都應(yīng)該也必須遵守的交通規(guī)則.湊齊一撥人就過馬路﹣﹣不看交通信號燈、隨意穿行交叉路口的“中國式過馬路”不僅不文明而且存在很大的交通安全隱患.一座城市是否存在“中國式過馬路”是衡量這座城市文明程度的重要指標.某調(diào)查機構(gòu)為了了解路人對“中國式過馬路”的態(tài)度,從馬路旁隨機抽取30名路人進行了問卷調(diào)查,得到了如下列聯(lián)表:
男性 | 女性 | 合計 | |
反感 | 10 | ||
不反感 | 8 | ||
合計 | 30 |
已知在這30人中隨機抽取1人抽到反感“中國式過馬路”的路人的概率是.
(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整(在答題卷上直接填寫結(jié)果,不需要寫求解過程),并據(jù)此列聯(lián)表數(shù)據(jù)判斷是否有95%的把握認為反感“中國式過馬路”與性別有關(guān)?
(2)若從這30人中的女性路人中隨機抽取2人參加一項活動,記反感“中國式過馬路”的人數(shù)為X,求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
附:,其中n=a+b+c+d
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,長軸長為4,且過點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過的直線l交橢圓C于兩點,過A作x軸的垂線交橢圓C與另一點Q(Q不與重合).設(shè)的外心為G,求證為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對稱軸為坐標軸的橢圓的焦點為,,在上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)不過原點的直線與橢圓交于,兩點,且直線,,的斜率依次成等比數(shù)列,則當的面積為時,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心;
(2)當時,方程有解,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C1的極坐標方程為ρ=4cosθ,直線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(1)求曲線C1的直角坐標方程和直線C2的普通方程;
(2)若P(1,0),直線C2與曲線C1相交于A,B兩點,求|PA||PB|的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)擬在高一下學(xué)期開設(shè)游泳選修課,為了了解高一學(xué)生喜歡游泳是否與性別有關(guān),該學(xué)校對100名高一新生進行了問卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:
喜歡游泳 | 不喜歡游泳 | 合計 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 20 | ||
合計 |
已知在這100人中隨機抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為.
(1)請將上述列聯(lián)表補充完整;
(2)并判斷是否有99.9%的把握認為喜歡游泳與性別有關(guān)?并說明你的理由;
(3)已知在被調(diào)查的學(xué)生中有5名來自甲班,其中3名喜歡游泳,現(xiàn)從這5名學(xué)生中隨機抽取2人,求恰好有1人喜歡游泳的概率.
下面的臨界值表僅供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖空間幾何體中,與,均為邊長為的等邊三角形,平面平面,平面平面.
(Ⅰ)求線段的長度.
(Ⅱ)試在平面內(nèi)作一條直線,使得直線上任意一點與的連線均與平面平行,并給出詳細證明;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓+=1(a>b>0)的一個焦點為F1,若橢圓上存在一個點P,滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF1相切于該線段的中點,則橢圓的離心率為________.
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