Question

17．函數(shù)f（x）的定義域為R，且對任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0，且f（1）=-2．
（Ⅰ）求f（0）的值，并證明f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調性并證明你的結論；
（Ⅲ）求f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）令a=b=0，則可得f（0）=0；y=-x，即可證明f（x）是奇函數(shù)，
（2）設x₁＞x₂，由已知可得f（x₁-x₂）＜0，再利用f（x+y）=f（x）+f（y），及減函數(shù)的定義即可證明．
（3）由（2）的結論可知f（-3）、f（3）分別是函數(shù)y=f（x）在[-3、3]上的最大值與最小值，故求出f（-3）與f（3）就可得所求值域．

解答 證明（1）令x=y=0，
∴f（0）=f（0）+f（0），
可得f（0）=0
f（x+y）=f（x）+f（y），得f（x-x）=f（x）+f（-x）
即f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），
即函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，
（2）設x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＜0，
而f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）
∴函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù)；
（3）：由函數(shù)y=f（x）是R上的單調減函數(shù)，
∴y=f（x）在[-3，3]上也為單調減函數(shù)．
∴y=f（x）在[-3，3]上的最大值為f（-3），最小值為f（3）．
∴f（3）=（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=-6，
同理，f（-3）=-3f（1）=6，
因此，函數(shù)y=f（x）在[-3，3上的值域為[-6，6]．

點評 本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性和單調性，深刻理解函數(shù)奇偶性和單調性的定義及充分利用已知條件是解決問題的關鍵．