Question

8．橢圓$\frac{4}{25}{x^2}+\frac{y^2}{5}$=1過右焦點(diǎn)有n條弦的長度成等差數(shù)列，最小弦長為數(shù)列的首項(xiàng)a₁，最大弦長為a_n，若公差為d$∈[\frac{1}{6}，\frac{1}{3}]，那么n$的取值集合為（　�。�

• A． {4，5，6，7}
• B． {4，5，6}
• C． {3，4，5，6}
• D． {3，4，5，6，7}

Answer 1

分析 先求出橢圓的a，b，c，根據(jù)橢圓方程求得過右焦點(diǎn)的最短弦長和最長弦長，即等差數(shù)列的第一項(xiàng)和第n項(xiàng)，再根據(jù)等差數(shù)列的公差d∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]，求出n的取值集合．

解答 解：橢圓$\frac{4}{25}{x^2}+\frac{y^2}{5}$=1的a=$\frac{5}{2}$，b=$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
右焦點(diǎn)為（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，0），令x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，代入橢圓方程可得y=±$\sqrt{5}$×$\sqrt{1-\frac{4}{25}×\frac{5}{4}}$=±2，
則過右焦點(diǎn)的最短弦的弦長為a₁=4，最長弦長為圓的直徑長a_n=5，
∴4+（n-1）d=5，d=$\frac{1}{n-1}$，
∵d∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]，
∴$\frac{1}{6}$≤$\frac{1}{n-1}$≤$\frac{1}{3}$，
∴4≤n≤7，n∈N，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識(shí)，解題時(shí)要學(xué)會(huì)使用橢圓的幾何性質(zhì)解決橢圓的弦長問題，提高解題速度．