橢圓G:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>0,b>0 )與x軸交于A、B兩點(diǎn),F(xiàn)是它的右焦點(diǎn),若
FA
FB
=-1且|OF|=1
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓G的上頂點(diǎn)為M,是否存在直線L,L交橢圓于P(x1,y1)、Q(x2,y2)兩點(diǎn),滿足PQ⊥MF,且|PQ|=
4
3
,若存在,求直線L的方程,若不存在,請(qǐng)說明理由.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)根據(jù)
FA
FB
=-1且|OF|=1,建立方程,求出幾何量,即可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線方程代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式,即可求出直線L的方程.
解答: 解:(1)∵
FA
FB
=-1且|OF|=1,
∴c=1,(a+c)(a-c)=1
∴a2=2b2=2-1=1
∴橢圓C的方程是
x2
2
+y2=1
┉┉┉┉┉┉(4分),
(2)設(shè)P(x1,y1) Q(x2,y2)(6分)
∵M(jìn)F⊥PQ,∴設(shè)lPQ:y=x+m
y=x+m
x2+2y2=2
得3x2+4mx+2m2-2=0
∴x1+x2=-
4m
3
,x1x2=
2m2-2
3
┉┉┉┉┉┉(8分)
由|PQ|=
4
3
1+1
|x1-x2|
=
4
3
,
∴(x1+x22-4x1x2=
8
9
,
16m2
9
-
8m2-8
3
=
8
9
,
∴m=±
2
經(jīng)檢驗(yàn)m=±
2
時(shí)△>0
∴所求的直線方程是:y=x±
2
┉┉┉┉┉┉(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組
3x-y≤3
x+y≥1
x-y≥-1
,則z=2x+3y的最大值是( 。
A、13B、12C、11D、10

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在10名演員中,5人能歌,8人善舞,從中選出5人,使這5人能演出一個(gè)由1人獨(dú)唱4人伴舞的節(jié)目,共有幾種選法?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C的方程為y=
1
2p
x2
,焦點(diǎn)F(0,1).直線y=2與拋物線C交于M,N兩點(diǎn)A,B在拋物線C上.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若∠BMN=∠AMN,求證:直線AB的斜率為定值;
(3)若直線AB的斜率為
2
,且點(diǎn)N到直線MA,MB的距離的和為8,試判斷△MAB的形狀,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知離心率為
3
2
的橢圓C1的頂點(diǎn)A1,A2恰好是雙曲線
x2
3
-y2=1的左右焦點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓C1上不同于A1,A2的任意一點(diǎn),設(shè)直線PA1,PA2的斜率分別為k1,k2
(1)求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)k1=
1
2
,在焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C1上求一點(diǎn)Q,使該點(diǎn)到直線PA2的距離最大.
(3)試判斷乘積“k1•k2”的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān),并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C1:(x+1)2+y2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=1.
(Ⅰ)若過點(diǎn)C1(-1,0)的直線l被圓C2截得的弦長(zhǎng)為
6
5
,求直線l的方程;
(Ⅱ)圓D是以1為半徑,圓心在圓C3:(x+1)2+y2=9上移動(dòng)的動(dòng)圓,若圓D上任意一點(diǎn)P分別作圓C1的兩條切線PE,PF,切點(diǎn)為E,F(xiàn),求
C1E
C1F
的取值范圍;
(Ⅲ)若動(dòng)圓C同時(shí)平分圓C1的周長(zhǎng)、圓C2的周長(zhǎng),則動(dòng)圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)?若經(jīng)過,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,左右焦點(diǎn)分別為F1和F2,且|F1F2|=2,點(diǎn)(1,
3
2
)在該橢圓上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)斜率為1且過F1的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),求|AB|.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在橢圓
x2
4
+y2
=1中,F(xiàn)1、F2為橢圓的左右焦點(diǎn),過F1和F2分別作直線F1A和F2B,使得F1A∥F2B,連接F2A和F1B,兩直線交于點(diǎn)P,證明:PF1+PF2的定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在區(qū)間[-3,3]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,若x滿足|x|≤m的概率為
2
3
,則m=
 

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