Question

已知拋物線C的方程為y=

1

2p

x2，焦點F（0，1）．直線y=2與拋物線C交于M，N兩點A，B在拋物線C上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若∠BMN=∠AMN，求證：直線AB的斜率為定值；
（3）若直線AB的斜率為

2

，且點N到直線MA，MB的距離的和為8，試判斷△MAB的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由拋物線C的方程為y=

1

2p

x2，焦點F（0，1），求出p，即可得到拋物線C的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AM的斜率為k，由∠BMN=∠AMN，知直線BM的斜率為-k，所以直線AM的方程為y=k（x+2

2

）-2，由此能夠證明直線AB的斜率為定值．
（3）若直線AB的斜率為

2

，由（2）可得：k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

4

=

2

，知k_AM+k_BM=0，∠BMN=∠AMN，由點N到直線MA，MB的距離的和為8，知點N到直線MA，MB的距離均為4，由此能得到△MAB是直角三角形．

解答： （1）解：∵拋物線C的方程為y=

1

2p

x2，焦點F（0，1），
∴p=1，
∴拋物線C的方程為x²=4y；
（2）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AM的斜率為k，
∵∠BMN=∠AMN，∴直線BM的斜率為-k，
∵直線y=2交拋物線于M，N兩點，
∴M（-2

2

，2），N（2

2

，2），
∴直線AM的方程為y=k（x+2

2

）-2，
代入x²=4y得x²-4kx-8

2

k-8=0，
∴x_Mx₁=-8

2

k-8，
∴x₁=4k+2

2

，
同理x₂=-4k+2

2

，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

4

=

2

．
（3）解：若直線AB的斜率為

2

，由（2）可得：k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

4

=

2

，
∴k_AM+k_BM=0，
∴∠BMN=∠AMN，
又點N到直線MA，MB的距離的和為8，
∴點N到直線MA，MB的距離均為4，
∵MN=4

2

，
∴∠BMN=∠AMN=45°，
∴△MAB是直角三角形．

點評：本題考查拋物線方程，考查直線和拋物線的綜合運用，解題時要認真審題，注意拋物線性質(zhì)的靈活運用，合理地進行等價轉化．