在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：（x+1）2+y2=1，圓C2：（x-3）2+（y-4）2=1．
（Ⅰ）若過(guò)點(diǎn)C1（-1，0）的直線l被圓C2截得的弦長(zhǎng)為
6
5
，求直線l的方程；
（Ⅱ）圓D是以1為半徑，圓心在圓C3：（x+1）2+y2=9上移動(dòng)的動(dòng)圓，若圓D上任意一點(diǎn)P分別作圓C1的兩條切線PE，PF，切點(diǎn)為E，F(xiàn)，求
C1E
•
C1F
的取值范圍；
（Ⅲ）若動(dòng)圓C同時(shí)平分圓C1的周長(zhǎng)、圓C2的周長(zhǎng)，則動(dòng)圓C是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為y=k（+1），根據(jù)直線l被圓C2截得的弦長(zhǎng)為
6
5
，利用勾股定理，求出k，即可求直線l的方程；
（Ⅱ）動(dòng)圓D是圓心在定圓（x+1）2+y2=9上移動(dòng)，半徑為1的圓，由圓的幾何性質(zhì)得，|DC1|-r≤|PC1|≤|DC1|+r，即2≤|PC1|≤4，4≤|PC1|2≤16，利用向量的數(shù)量積公式，即可求
C1E
•
C1F
的取值范圍；
（Ⅲ）確定動(dòng)圓圓心C在定直線x+y-3=0上運(yùn)動(dòng)，求出動(dòng)圓C的方程，即可得出結(jié)論．
解答： 解：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為y=k（+1），即kx-y+k=0．       
因?yàn)橹本�l被圓C2截得的弦長(zhǎng)為
6
5
，而圓C2的半徑為1，
所以圓心C2（3，4）到l：kx-y+k=0的距離為
|4k-4|
k2+1
=
4
5
．
化簡(jiǎn)，得12k2-25k+12=0，解得k=
4
3
或k=
3
4
．
所以直線l方程為4x-3y+4=0或3x-4y+3=0           …（4分）
（Ⅱ）動(dòng)圓D是圓心在定圓（x+1）2+y2=9上移動(dòng)，半徑為1的圓
設(shè)∠EC1F=2α，則在Rt△PC1E中，cosα=
|C1E|
|PC1|
=
1
|PC1|
，
有cos2α=2cos2α-1=
2
|PC1|2
-1，
則
C1E
•
C1F
=|
C1E
||
C1F
|cos2α=cos2α=
2
|PC1|2
-1
由圓的幾何性質(zhì)得，|DC1|-r≤|PC1|≤|DC1|+r，即2≤|PC1|≤4，4≤|PC1|2≤16
則
C1E
•
C1F
的最大值為-
1
2
，最小值為-
7
8
．
故
C1E
•
C1F
∈[-
7
8
，-
1
2
]．…（8分）
（Ⅲ）設(shè)圓心C（x，y），由題意，得CC1=CC2，
即
(x+1)2+y2
=
(x-3)2+(y-4)2
．
化簡(jiǎn)得x+y-3=0，即動(dòng)圓圓心C在定直線x+y-3=0上運(yùn)動(dòng)．
設(shè)C（m.3-m），則動(dòng)圓C的半徑為
1+CC12
=
(1+(m+1)2+(3-m)2
．
于是動(dòng)圓C的方程為（x-m）2+（y-3+m）2=1+（m+1）2+（3-m）2．
整理，得x2+y2-6y-2-2m（x-y+1）=0．
由
x-y+1=0
x2+y2-6y-2=0
得
x=1+
3
2
2
y=2+
3
2
2
或
x=1-
3
2
2
y=2-
3
2
2

所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為（1-
3
2
2
，2-
3
2
2
），（1+
3
2
2
，2+
3
2
2
） …（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，從點(diǎn)M（x0，4）發(fā)出的光線，沿平行于拋物線y2=8x的對(duì)稱軸方向射向此拋物線上的點(diǎn)P，經(jīng)拋物線反射后，穿過(guò)焦點(diǎn)射向拋物線上的點(diǎn)Q，再經(jīng)拋物線反射后射向直線l：x-y-10=0上的點(diǎn)N，經(jīng)直線反射后又回到點(diǎn)M，則x0等于（　�。�
A、5B、6C、7D、8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知一條曲線C在y軸右側(cè)，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為D（2，-1），求直線l的一般式方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知離心率為
3
2
的橢圓C，其長(zhǎng)軸的端點(diǎn)A1，A2恰好是雙曲線
x2
3
-y2=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上不同于A1，A2的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA1，PA2的斜率分別為k1，k2．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）試判斷乘積“k1•k2”的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)k1=
1
2
，在橢圓C上求點(diǎn)Q，使該點(diǎn)到直線PA2的距離最大．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0 ）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)是它的右焦點(diǎn)，若
FA
•
FB
=-1且|OF|=1
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓G的上頂點(diǎn)為M，是否存在直線L，L交橢圓于P（x1，y1）、Q（x2，y2）兩點(diǎn)，滿足PQ⊥MF，且|PQ|=
4
3
，若存在，求直線L的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線x2-y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O是以F1F2為直徑的圓，直線l：y=kx+b與圓O相切，并與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）根據(jù)條件求出b和k的關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)
OA
•
OB
=k2+1時(shí)，求直線l的方程；
（Ⅲ）當(dāng)
OA
•
OB
=m(k2+1)，且滿足2≤m≤4時(shí)，求△AOB面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知拋物線C：y2=4x焦點(diǎn)為F，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)
（Ⅰ）若線段AB的中點(diǎn)在直線y=1上，求直線l的方程；
（Ⅱ）若線段|AB|=20，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若實(shí)數(shù)x，y滿足
x-y+1≥0
x+y≥0
x≤0
，則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列說(shuō)法：其中正確的個(gè)數(shù)是
 

①命題“?x∈R，2x≤0”的否定是“?x∈R，2x＞0”；
②關(guān)于x的不等式a＜sin2x+
2
sin2x
恒成立，則a的取值范圍是a＜3；
③對(duì)于函數(shù)f(x)=
ax
1+|x|
(a∈R且a≠0)，則有當(dāng)a=1時(shí)，?k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上有三個(gè)零點(diǎn)；
④
∫
1
0
1-x2
＜
∫
e
1
1
x
dx．

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同步練習(xí)冊(cè)答案