【題目】如圖,在平面直角坐標系中,橢圓: 的離心率為,直線l:y=2上的點和橢圓上的點的距離的最小值為1.
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 已知橢圓的上頂點為A,點B,C是上的不同于A的兩點,且點B,C關(guān)于原點對稱,直線AB,AC分別交直線l于點E,F.記直線與的斜率分別為, .
① 求證: 為定值;
② 求△CEF的面積的最小值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)①詳見解析②
【解析】試題分析:
(1)由題意求得 的值,結(jié)合橢圓焦點位于 軸上寫出標準方程即可;
(2)①中,分別求得 的值,然后求解其乘積即可證得結(jié)論;
②中,聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用面積公式得出三角形面積的解析式,最后利用均值不等式求得面積的最小值即可.
試題解析:
(Ⅰ)由題知,由,
所以.
故橢圓的方程為.
(Ⅱ)① 證法一:設(shè),則,
因為點B,C關(guān)于原點對稱,則,
所以.
證法二:直線AC的方程為,
由得,
解得,同理,
因為B,O,C三點共線,則由,
整理得,
所以.
②直線AC的方程為,直線AB的方程為,不妨設(shè),則,
令y=2,得,
而,
所以,△CEF的面積
.
由得,
則 ,當且僅當取得等號,
所以△CEF的面積的最小值為.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并證明.
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)性及值域.
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【題目】若α∈[0,π],β∈[﹣ , ],λ∈R,且(α﹣ )3﹣cosα﹣2λ=0,4β3+sinβcosβ+λ=0,則cos( +β)的值為( )
A.0
B.
C.
D.
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【題目】下列各式中,正確的是( 。
A.2{x|x≤2}
B.3∈{x|x>2且x<1}
C.{x|x=4k±1,k∈Z}≠{x|x=2k+1,k∈Z}
D.{x|x=3k+1,k∈Z}={x|x=3k﹣2,k∈Z}
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【題目】若集合A={x|kx2﹣2x﹣1=0}只有一個元素,則實數(shù)k的取值集合為( )
A.{﹣1}
B.{0}
C.{﹣1,0}
D.(﹣∞,﹣1]∪{0}
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程是 (為參數(shù)),以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程是.
(Ⅰ) 求曲線與交點的平面直角坐標;
(Ⅱ) 點分別在曲線, 上,當最大時,求的面積(為坐標原點).
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【題目】已知曲線C1,C2的極坐標方程分別為ρ=2cosθ, ,射線θ=φ, , 與曲線C1交于(不包括極點O)三點A,B,C.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)當時,求點B到曲線C2上的點的距離的最小值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(1﹣x)+loga(x+3)(0<a<1)
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)求函數(shù)f(x)的零點;
(3)若函數(shù)f(x)的最小值為﹣4,求a的值.
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