Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）圖象如圖，P是圖象的最高點(diǎn)，Q為圖象與x軸的交點(diǎn)，O為原點(diǎn)．且|OQ|=2，|OP|= ，|PQ|= ．

（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移1個(gè)單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，求函數(shù)h（x）=f（x）g（x）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由余弦定理得cos∠POQ= = ，

∴sin∠POQ= ，得P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，1），∴A=1， =4（2﹣ ），∴ω= ．

由f（ ）=sin（ +φ）=1 可得 φ= ，∴y=f（x） 的解析式為 f（x）=sin（ x+ ）．

（2）解：根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+）的圖象變換規(guī)律求得 g（x）=sin x，…（7分）

h（x）=f（x）g（x）=sin（ x+ ） sin x= + sin xcos x

= + sin = sin（ ﹣ ）+ ．

當(dāng)x∈[0，2]時(shí)， ∈[﹣ ， ]，

∴當(dāng) ，

即 x=1時(shí)，hmax（x）= ．

【解析】（1）由余弦定理得cos∠POQ 的值，可得sin∠POQ，求出P的坐標(biāo)可得A的值，再由函數(shù)的周期求出ω的值，再把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出φ，即可求得 y=f（x） 的解析式．（2）求出g（x） 的解析式，化簡h（x）=f（x）g（x） 的解析式為 sin（ ﹣ ）+ ，再根據(jù)x的范圍求出h（x） 的值域，從而求得h（x） 的最大值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換和三角函數(shù)的最值的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握?qǐng)D象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，才能正確解答此題．