Question

已知實數序列x₀，x₁，x₂，…，x_n…的構成規(guī)律由遞推關系給出：x₀=5，x_n=x_n-1+

1

xn-1

（n=1，2，3…）．求證：45＜x₁₀₀₀＜45.1．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：由題意知數列的各項都是正數且遞增，由x_n²=（x_n-1+

1

xn-1

）²=xn-12+

1

xn-12

+2，xn-12=(xn-2+

1

xn-2

)2=xn-22+

1

xn-22

+2，…，x12=(x0+

1

x0

)2=x02+

1

x02

+2，得xn2=

1

xn-12

+

1

xn-22

+…+

1

x12

+

1

x02

+x02+2n，當n=1000時，得x₁₀₀₀＞45．當n=100時，得x1002＞x02+2×100=15²，由此能證明45＜x₁₀₀₀＜45.1．

解答： 解：由題意知數列的各項都是正數且遞增，
即x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n＜…
∵x_n²=（x_n-1+

1

xn-1

）²=xn-12+

1

xn-12

+2，
xn-12=(xn-2+

1

xn-2

)2=xn-22+

1

xn-22

+2，
…
x22=(x1+

1

x1

)2=x12+

1

x12

+2，
x12=(x0+

1

x0

)2=x02+

1

x02

+2，
上述幾個式子相加，得：
xn2=

1

xn-12

+

1

xn-22

+…+

1

x12

+

1

x02

+x02+2n，①
當n=1000時，則①式得：
x10002＞x02+2×1000=5²+2000=2025，
∴x₁₀₀₀＞45．
又當n=100時，由①式得：
x1002＞x02+2×100=15²，
則x10002=

1

x9992

+

1

x9982

+

1

x9972

+

1

x9962

+…+

1

x12

+

1

x02

+x02+2×1000
＜

1 x1002 + 1 x1002 +…+ 1 x1002

900個

+

1 x02 + 1 x02 +…+ 1 x02

100個

+2025
≤

900

152

+

100

52

+2025=4+4+2025
＜45²+9
＜45²+2×45×0.1+0.1²
=（45+0.1）²=45.1²，
故x₁₀₀₀＜45.1．
綜上，45＜x₁₀₀₀＜45.1．

點評：本題考查不等式的證明，綜合性強、難度大，解題時要認真審題，注意累加法的合理運用．