Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞0）的焦點在x軸上，右頂點與上頂點分別為A，B，頂點在原點，分別以A，B為焦點的拋物線C₁，C₂交于點P（不同于O點），且以BP為直徑的圓經(jīng)過點A．
（1）求橢圓C的標準方程．
（2）若與OP垂直的動直線l交橢圓C于M，N不同兩點，求△OMN面積的最大值和此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出P的坐標，利用以BP為直徑的圓經(jīng)過點A，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=0，建立方程，求出a，即可求橢圓C的標準方程．
（2）設(shè)l的方程為y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+t，代入橢圓方程，利用韋達定理，弦長公式，求出|MN|，求出O到直線l的距離，可得△OMN面積，利用基本不等式，即可求△OMN面積的最大值和此時直線l的方程．

解答 解：（1）由題意，A（a，0），B（0，1），
∴分別以A，B為焦點的拋物線C₁，C₂的方程分別為y²=4ax，x²=4y，
聯(lián)立可得P（$4{a}^{\frac{1}{3}}$，$4{a}^{\frac{2}{3}}$），
∵以BP為直徑的圓經(jīng)過點A，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
∴（$4{a}^{\frac{1}{3}}$-a，$4{a}^{\frac{2}{3}}$）•（-a，1）=0，
∴${a}^{\frac{4}{3}}$-$4{a}^{\frac{2}{3}}$+4=0，
∴a=2$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的標準方程$\frac{{x}^{2}}{8}$+y²=1．
（2）由（1）P（4$\sqrt{2}$，8），k_OP=$\sqrt{2}$，∴k_l=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
設(shè)l的方程為y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+t
代入橢圓方程得得5y²-2ty+t²-4=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{2t}{5}$，y₁y₂=$\frac{{t}^{2}-4}{5}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+2}•\sqrt{（\frac{2t}{5}）^{2}-4•\frac{{t}^{2}-4}{5}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$$\sqrt{5-{t}^{2}}$，
∵O到直線l的距離d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$|t|，
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}$•$\frac{4\sqrt{3}}{5}$$\sqrt{5-{t}^{2}}$•$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$|t|=$\frac{\sqrt{2}}{5}$×2$\sqrt{{t}^{2}（5-{t}^{2}）}$≤$\frac{\sqrt{2}}{5}$×（t²+5-t²）=$\sqrt{2}$
當且僅當t²=5-t²，即t=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$時，△OMN面積的最大值為$\sqrt{2}$，此時直線l的方程為y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x±$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理、弦長公式，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．