Question

4．已知雙曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}$（α為參數(shù)），再以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2ρsinθ+ρcosθ=10．
（1）求曲線C₁的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若點M在曲線C₁上運動，試求出M到曲線C的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）由cos²α+sin²α=1求得曲線C₁的普通方程$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，由y=ρsinθ，x=ρcosθ，曲線C₂的直角坐標(biāo)方程x+2y=10；
（2）使用參數(shù)坐標(biāo)求出點M到曲線C的距離，得到關(guān)于θ的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出距離的最值．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}$（α為參數(shù)），得$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
曲線C₁的普通方程$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∵y=ρsinθ，x=ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程x+2y=10；
（2）設(shè)M（3cosθ，2sinθ），則距離d=$\frac{|3cosθ+4sinθ-10|}{\sqrt{5}}$≥$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$．

點評 本題考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，考查直線與圓的交點問題，屬于基礎(chǔ)題．