Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，，，是棱上的一點.

（1）證明：平面；

（2）若平面，求的值；

（3）在（2）的條件下，三棱錐的體積是18，求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析 ；（2） ；（3）.

【解析】

（1）推導出BC⊥PD，BD⊥BC，由此能證明BC⊥平面PBD．（2）連結(jié)AC，交BD于O，連結(jié)OE，由PA∥平面BDE，得OE∥PA，由此能求出 ．（3）B到平面PCD的距離d＝

3，設PD＝a，則 ＝ ，由三棱錐P﹣BDE的體積是18，求出PD＝a＝6，設點D到平面PAB的距離為h，由VP﹣ABD＝VD﹣PAB，能求出D點到平面PAB的距離．

（1）∵在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PD⊥平面ABCD，

∴BC⊥PD，∵AD＝BD＝6，AB＝6，BC＝AD，∴BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC，

∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD．

（2）連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OE，則O是AC的中點，

∵PA∥平面BDE，∴OE∥PA，∴E是PC的中點，∴＝．

（3）B到平面PCD的距離d＝＝3，設PD＝a，則＝＝，∵三棱錐P﹣BDE的體積是18，∴VP﹣BDE＝VB﹣PDE＝＝＝18，解得PD＝a＝6，設點D到平面PAB的距離為h，

∵PD⊥平面ABCD，AD＝BD＝6，AB＝6，

∴PA＝PB＝＝6，

∴＝18，

＝＝18，

∵VP﹣ABD＝VD﹣PAB，∴，

∴h＝＝＝2．∴D點到平面PAB的距離為2．