Question

設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a1=1，an+1=

n+1

2n

an，且b_n=ln（1+a_n）+

1

2

a

2 n

，n∈N*．
（1）證明：

2

an+2

＜

an

bn

＜1；
（2）記{a_n²}，{b_n}的前n項和分別為A_n，B_n，證明：2B_n-A_n＜8．

Answer 1

分析：（1）可先證明

an

bn

＜1，由題意易知a_n＞0（n∈N*），故b_n＞0（n∈N*），故只要證b_n-a_n＞0即可，
結(jié)合題目條件可利用構(gòu)造函數(shù)證明．

2

an+2

＜

an

bn

?ln(1+an)-an＜0，也可構(gòu)造函數(shù)證明．
（2）由條件可得

an+1

n+1

=

1

2

•

an

n

，可求出a_n用錯位相減法求出A_n，再結(jié)合（1）中的關(guān)系比較大小即可．

解答：解：（1）由a1＞0，an+1=

n+1

2n

an知，a_n＞0（n∈N*），故b_n＞0（n∈N*）．bn-an=ln(1+an)+

1

2

a

2 n

-an，（2分）
設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)+

1

2

x2-x(x≥0)，則當(dāng)x＞0時，f′(x)=

1

1+x

+x-1=

x2

x+1

＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=0，即b_n-a_n＞0，∴

an

bn

＜1
∵

2

an+2

＜

an

bn

?ln(1+an)-an＜0．
設(shè)函數(shù)g（x）=ln（1+x）-x（x≥0），則當(dāng)x＞0時，g′(x)=

1

1+x

-1=-

x

1+x

＜0，
∴g（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，故g（x）＜g（0）=0，
∴l(xiāng)n（1+a_n）-a_n＜0
綜上得：

2

an+2

＜

an

bn

＜1
（2）由an+1=

n+1

2n

an得：

an+1

n+1

=

1

2

•

an

n

，
∴數(shù)列{

an

n

}是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，
∴an=n•(

1

2

)n-1=

n

2n-1

，
∵2b_n-a_n²=2ln（1+a_n），由（1）的結(jié)論有l(wèi)n（1+a_n）＜a_n，
∴2b_n-a_n²＜2a_n，
∴2Bn-An＜2(a1+a2++an)=2(

1

20

+

2

21

++

n

2n-1

)．
令S_n=

1

20

+

2

21

++

n

2n-1

，則

1

2

Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+

n

2n

，相減得：

1

2

Sn=1+

1

2

+

1

22

+

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+1

2n-1

，
∴Sn=4-

n+1

2n-2

，（13分）
∴2Bn-An＜2(4-

n+1

2n-2

)＜8

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用：利用函數(shù)單調(diào)性證明數(shù)列不等式，構(gòu)造函數(shù)需要較強(qiáng)的觀察能力，難度較大，綜合性強(qiáng)．