Question

如圖，設(shè)橢圓中心在原點，焦點在x軸上，A、B分別為橢圓的左、右頂點，F(xiàn)為橢圓的右焦點，已知橢圓的離心率e=

3

2

，且

AF

•

BF

=-1．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若存在斜率不為零的直線l與橢圓相交于C、D兩點，且使得△ACD的重心在y軸右側(cè)，求直線l在x軸上的截距m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．A（-a，0），B（a，0），F(xiàn)（c，0）．利用

AF

•

BF

=-1，可得c²-a²=-1，又

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可．
（II）設(shè)直線l的方程為x=ty+m，與橢圓的方程聯(lián)立可得（t²+4）y²+2mty+m²-4=0，設(shè)C（x₁，y₁），
D（x₂，y₂），可得y1+y2=

-2mt

t2+4

．由于△ACD的重心在y軸右側(cè)，可得

x1+x2-2

3

＞0，又直線l與橢圓相交，則△＞0，聯(lián)立解得即可．

解答： 解：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
A（-a，0），B（a，0），F(xiàn)（c，0）．

AF

=（c+a，0），

BF

=（c-a，0）．
∵

AF

•

BF

=-1，∴c²-a²=-1，
又

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得b²=1，a²=4，c²=3．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（II）設(shè)直線l的方程為x=ty+m，聯(lián)立

x2+4y2=4 x=ty+m

，
化為（t²+4）y²+2mty+m²-4=0，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則y1+y2=

-2mt

t2+4

．
∵△ACD的重心在y軸右側(cè)，
∴

x1+x2-2

3

＞0，即x₁+x₂＞2，
∴t（y₁+y₂）+2m＞2，
∴

-2mt2

t2+4

+2m＞2，即4m＞t²+4．
∵直線l與橢圓相交，則△=4m²t²-4（m²-4）（t²+4）＞0，化為t²+4＞m²，
∴4m＞m²，解得0＜m＜4，
又t²≥0，∴4m＞t²+4≥4，解得m＞1，
∴m的取值范圍是（1，4）．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量的數(shù)量積運(yùn)算、不等式的解法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．