Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-xlna，其中a＞0且a≠1．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若a＞1，求函數(shù)f（x）在〔-1，1〕上的最小值和最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)為y′的解析式，對實數(shù)a分類討論后，分別令y′＞0，y′＜0，求得單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在（-1，0）單調(diào)遞減，在（0，1）在單調(diào)遞增，故f（x）_min=f（0）=1，f（x）_max=max{f（1），f（-1）}，
再利用函數(shù)的導數(shù)，分0＜a＜1或a＞1，分別得到函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=a^x-xlna，
∴f′（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna，
當a＞1時，lna＞0，
令f′（x）＞0，即a^x-1＞0，解得x＞0
令f′（x）＜0，即a^x-1＜0，解得x＜0；
當0＜a＜1時，lna＜0，
令f′（x）＞0，即a^x-1＜0，解得x＞0
令f′（x）＜0，即a^x-1＞0，解得x＜0；
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在（-1，0）單調(diào)遞減，在（0，1）在單調(diào)遞增，
∴當x=0時f（x）取得最小值，
即f（x）_min=f（0）=1，
f（x）_max=max{f（1），f（-1）}
又f（1）=a-lna，f（-1）=

1

a

+lna，
則f（1）-f（-1）=a-

1

a

-2lna．
設g（a）=a-

1

a

-2lna，則g′（a）=(

1

a

-1)2在a＞0且a≠1時恒成立，
∴當0＜a＜1時，g（a）＜g（1）=0，即f（1）＜f（-1），
∴f（x）_max=f（-1）=

1

a

+lna；
當a＞1時，g（a）＞g（1）=0，
即f（1）＞f（-1），
f（x）_max=f（1）=a-lna，
綜上可知，函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最小值為f（0）=1；
當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值為f（-1）=

1

a

+lna，
當a＞1時，函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值為f（1）=a-lna．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，函數(shù)的單調(diào)性，查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，化歸與轉化思想．數(shù)形結合的思想，綜合性強．