Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3x²+2x，若過f（x）圖象上一點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀≠0）的切線為l：y=kx，求k的值和P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：由原點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中判斷出原點(diǎn)在函數(shù)圖象上，根據(jù)題意可知切點(diǎn)P（x₀，y₀），求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把P的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中求出的函數(shù)值即為切線的斜率，又根據(jù)點(diǎn)P和原點(diǎn)兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出切線的斜率，兩者相等得到P橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式，記作①，又因?yàn)镻在函數(shù)圖象上，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式中得到另外一個(gè)關(guān)于P橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式，記作②，聯(lián)立①②即可求出P的橫坐標(biāo)，即可得到切線的斜率，根據(jù)求出的斜率．

解答：解：易見O（0，0）在函數(shù)y=x³-3x²+2x的圖象上，y′=3x²-6x+2，但O點(diǎn)未必是切點(diǎn)．
根據(jù)題意可知切點(diǎn)為點(diǎn)P（x₀，y₀），
∵y′=3x²-6x+2，
∴切線斜率為3x₀²-6x₀+2，又切線過原點(diǎn)，
∴kx0=

y0

x0

=3x₀²-6x₀+2即：y₀=3x₀³-6x₀²+2x₀①
又∵切點(diǎn)A（x₀，y₀）y=x³-3x²+2x的圖象上，
∴y₀=x₀³-3x₀²+2x₀②
由①②得：x₀=0或x₀=

3

2

，
∴切線的斜率為-

1

4

．
∴k=-

1

4

，P(

3

2

，-

3

8

)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求切線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)根據(jù)斜率和一點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線的方程，是一道綜合題．