Question

某圓錐曲線有下列信息：
①曲線是軸對(duì)稱圖形，且兩坐標(biāo)軸都是對(duì)稱軸；
②焦點(diǎn)在x軸上且焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為1；
③曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)不是兩個(gè)；
④曲線過點(diǎn)A（1，

3

2

）．
（1）判斷該圓錐曲線的類型并求曲線的方程；
（2）點(diǎn)F是改圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)F′是F關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)P為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，探求以|PF|以及|PF|•|PF′|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件知該曲線為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且2c=2，2a=4，由此能求出圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），推導(dǎo)出滿足y02=3-

3x02

4

，從而得到|PF|²=

x02

4

-2x0+4∈[1，9]，由此能求出|PF|的取值范圍和|PF|•|PF′|的取值范圍．

解答： 解：（1）∵該曲線與坐標(biāo)軸至少有3個(gè)交點(diǎn)，
∴該曲線為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
且2c=2，c=1，（2分）
F₁、F₂分別是該圓錐曲線的左、右焦點(diǎn)，
|AF1|+|AF2|=

22+ 9 4

+

02+ 9 4

=4，
所以2a=4，a=2，b²=4-1=3，（5分）
∴所求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（6分）
（2）設(shè)P（x₀，y₀），
則滿足

x02

4

+

y02

3

=1，
∴y02=3-

3x02

4

，（-2≤x₀≤2），
|PF|²=（x₀-1）²+3-

3x02

4

=

x02

4

-2x0+4，（7分）
由-2≤x₀≤2，
得到|PF|²=（x₀-1）²+3-

3x02

4

=

x02

4

-2x0+4∈[1，9]，
|PF|∈[1，3]，9分
|PF|+|PF′|=2a=4|PF|•|PF′|=|PF|•（4-|PF|）=4|PF|-|PF′|²，
由|PF|∈[1，3]，
知|PF|•|PF′|∈[3，4]，
∴|PF|的取值范圍是[1，3]，|PF|•|PF′|的取值范圍是[3，4]．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程類型的判斷及求法，考查線段的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．