Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=2n2-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)p、q（p＞1且q＞1）使a₁、a_p、a_q成等比數(shù)列？若存在，求出所有這樣的等比數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由Sn=2n2-1，分n=1和n≠1求解a_n，然后驗(yàn)證n=1時(shí)是否滿足n＞1時(shí)的通項(xiàng)公式；
（2）假設(shè)存在正整數(shù)p、q（p＞1且q＞1）使a₁、a_p、a_q成等比數(shù)列，由等比中項(xiàng)的概念結(jié)合（1）中求出的通項(xiàng)公式列等式，得到矛盾，說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤．

解答： 解：（1）∵Sn=2n2-1，
∴a₁=S₁=1，
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4n-2，
而4×1-2=2≠1，
∴an=

1，n=1 4n-2，n＞1.

（2）假設(shè)存在正整數(shù)p、q（p＞1且q＞1）使a₁、a_p、a_q成等比數(shù)列，
則ap2=a1×aq，
由（1）得（4p-2）²=1×（4q-2），
即2（2p-1）²=2q-1，
∵p、q是整數(shù)，
∴2（2p-1）²=2q-1，即q=(2p-1)2+

1

2

，此式不可能成立，
∴假設(shè)錯(cuò)誤．
∴不存在正整數(shù)p、q（p＞1且q＞1）使a₁、a_p、a_q成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了存在性問(wèn)題的判定方法，考查了等比中項(xiàng)的概念，是中檔題．