Question

設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x²＋bx＋c(b，c∈R)，已知不論α，β為何實(shí)數(shù)，恒有f(sinα)≥0，且f(2＋cosβ)≤0．

(1)求證：b＋c＝－1；

(2)求c的取值范圍；

(3)若函數(shù)f(sinα)的最大值為8，求b，c的值．

Answer 1

答案：
解析：

熱點(diǎn)分析　　(1)因?yàn)閒(1)＝1＋b＋c，所以本小題取特殊值α＝，β＝π可求得． 　　(2)利用二次函數(shù)與一元二次不等式之間的關(guān)系，把f(2＋cosβ)≤0恒成立條件轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題 　　(3)利用二次函數(shù)的單調(diào)性． 　　解答　　(1)取α＝，β＝π， 　　則f(1)≥0且f(1)≤0，∴f(1)＝0，于是b＋c＝－1． 　　(2)∵b＝－1－c，∴f(x)＝x2－(1＋c)x＋c＝(x－1)(x－c)． 　　∵1≤x≤3時(shí)，f(x)≤0，即(x－1)(x－c)≤0恒成立， 　　∴x－c≤0，即c≥x恒成立，∴c≥xmax＝3． 　　(3)f(sinα)＝sin2α－(1＋c)sinα＋c＝(sinα－)2＋c－， 　　∵≥2，由二次函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)sinα＝－1時(shí)，f(sinα)max＝1－b＋c＝8，與b＋c＝－1聯(lián)立解得b＝－4，c＝3． 　　評(píng)析　　本題充分體現(xiàn)了二次函數(shù)與二次不等式的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，其解法“巧”在利用條件的特殊狀態(tài)求出f(1)＝0，“活”在二次函數(shù)向不等式的轉(zhuǎn)化，“妙”在利用二次函數(shù)單調(diào)性確定最大值的表達(dá)式，進(jìn)而求出b，c． 　　綜上可知，存在a＝c＝，b＝，使題設(shè)不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立． 　　采用取特值x＝0，解代消元和判別式法，逐步確定待定參數(shù)．