Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，則下列命題正確的是

 

（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）．
①若ab＞c²，則C＜

π

3

；    
②若（a+b）c＜2ab，則C＞

π

2

；
③若a³+b³=c³，則C＜

π

2

；
④若a+b＞2c，則C＜

π

3

；
⑤若（a²+b²）c²＜2a²b²，則C＞

π

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：解三角形,不等式的解法及應(yīng)用

分析：①利用余弦定理結(jié)合均值不等式求解角C；②取特殊值，在滿足條件的情況下，判斷角C的大��；③利用反證法，假設(shè)C≥

π

2

時(shí)，推出與題設(shè)矛盾，即可證明此命題正確；④利用余弦定理，再結(jié)合均值定理即可求角C；
⑤把不等式變形求出c²的范圍，然后利用基本不等式結(jié)合余弦定理求解角C的范圍．

解答： 解：①∵a²+b²≥2ab，
∴由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∵ab＞c²，
∴-c²＞-ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞

2ab-ab

2ab

=

1

2

，即0＜C＜

π

3

，選項(xiàng)①正確；
②取a=b=2，c=1，滿足（a+b）c＜2ab，得C為銳角，選項(xiàng)②錯(cuò)誤；
③假設(shè)C≥

π

2

，則c²≥a²+b²，
∴c³≥ca²+cb²＞a³+b³，與a³+b³=c³矛盾，
∴假設(shè)不成立．即C＜

π

2

成立，選項(xiàng)③正確；
④∵a+b＞2c，
∴（a+b）²＞4c²，即c²＜

(a+b)2

4

，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞

2ab-ab

2ab

=

1

2

，即0＜C＜

π

3

，選項(xiàng)④正確；
⑤由已知條件（a²+b²）c²＜2a²b²，得：c2＜

2a2b2

a2+b2

≤

2a2b2

2ab

=ab，
由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞

2ab-ab

2ab

=

1

2

，
∴0＜C＜

π

3

，命題⑤錯(cuò)誤．
則命題正確的是①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，解答的關(guān)鍵在于利用余弦定理與基本不等式的結(jié)合，是中檔題．