Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），有下列命題：其中正確的序號為

 

①若f（x₁）=f（x₂）=0，則x₁-x₂必是π的整數(shù)倍；
②y=f（x）的表達(dá)式可改寫為y=4cos（2x-

π

6

）；
③y=f（x）的圖象關(guān)于點（-

π

3

，0）對稱；
④y=f（x）的圖象向右平移

5π

12

個單位后的圖象所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)；
⑤當(dāng)x=-

5π

12

+kπ，k∈Z時，函數(shù)有最小值-4．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①由f（x₁）=f（x₂）=0，可得4sin(2x1+

π

3

)=0，4sin(2x2+

π

3

)=0．利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得x1-x2=

k1-k2

2

π，（k₁，k₂∈Z），即可判斷出；
②利用誘導(dǎo)公式可得f（x）=4cos[

π

2

-(2x+

π

3

)]，即可判斷出；
③由于f（-

π

3

）≠0，可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-

π

3

，0）不對稱；
④y=f（x）的圖象向右平移

5π

12

個單位后的圖象所對應(yīng)的函數(shù)是y=4sin[2(x-

5π

12

)+

π

3

]=-4cos2x，即可判斷出其奇偶性；
⑤計算函數(shù)f(-

5π

12

+kπ)=4sin(-

π

2

)=-4，即可判斷出．

解答： 解：①∵f（x₁）=f（x₂）=0，∴4sin(2x1+

π

3

)=0，4sin(2x2+

π

3

)=0．
∴2x1+

π

3

=k1π，2x2+

π

3

=k2π，（k₁，k₂∈Z）．
∴x1-x2=

k1-k2

2

π不一定是π的整數(shù)倍，
因此①不正確；
②y=f（x）=4sin（2x+

π

3

）=4cos[

π

2

-(2x+

π

3

)]=4cos(2x-

π

6

)，因此正確；
③∵f（-

π

3

）=4sin(-

π

3

×2+

π

3

)=4sin(-

π

3

)≠0，∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-

π

3

，0）不對稱，不正確；
④y=f（x）的圖象向右平移

5π

12

個單位后的圖象所對應(yīng)的函數(shù)是y=4sin[2(x-

5π

12

)+

π

3

]=-4cos2x是偶函數(shù)，正確；
⑤當(dāng)x=-

5π

12

+kπ，k∈Z時，函數(shù)f(-

5π

12

+kπ)=4sin[2(-

5π

12

+kπ)+

π

3

]=4sin(-

π

2

)=-4，函數(shù)f（x）有最小值-4．正確．
綜上可知：只有②④⑤正確．
故答案為：②④⑤．

點評：本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了解決問題的能力，屬于中檔題．