【題目】已知函數(shù).
⑴當(dāng)時,求函數(shù)的極值;
⑵若存在與函數(shù),的圖象都相切的直線,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)時,函數(shù)取得極小值為,無極大值;(2)
【解析】試題分析:(1),通過求導(dǎo)分析,得函數(shù)取得極小值為,無極大值;(2),所以,通過求導(dǎo)討論,得到的取值范圍是.
試題解析:
(1)函數(shù)的定義域為
當(dāng)時,,
所以
所以當(dāng)時,,當(dāng)時,,
所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時,函數(shù)取得極小值為,無極大值;
(2)設(shè)函數(shù)上點(diǎn)與函數(shù)上點(diǎn)處切線相同,
則
所以
所以,代入得:
設(shè),則
不妨設(shè)則當(dāng)時,,當(dāng)時,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
代入可得:
設(shè),則對恒成立,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,又
所以當(dāng)時,即當(dāng)時,
又當(dāng)時
因此當(dāng)時,函數(shù)必有零點(diǎn);即當(dāng)時,必存在使得成立;
即存在使得函數(shù)上點(diǎn)與函數(shù)上點(diǎn)處切線相同.
又由得:
所以單調(diào)遞減,因此
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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②求的面積的最大值.
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