【題目】如圖,圓與軸相切于點(diǎn),與軸正半軸交于兩點(diǎn),(在的上方),且.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)作任一條直線與圓:相交于,兩點(diǎn).
①求證:為定值,并求出這個(gè)定值;
②求的面積的最大值.
【答案】(1)(2)①;證明見解析②
【解析】
(1)由直線與圓相交,利用勾股定理構(gòu)建方程求得半徑,得答案;
(2)①分類討論是否存在,當(dāng)存在時(shí),可聯(lián)立直線與圓的方程,進(jìn)而確定的關(guān)系,利用斜率k分別表示,,再利用弦長(zhǎng)公式表示,作商并化簡(jiǎn),得答案;當(dāng)不存在時(shí),M為特殊位置,直接表示,作商,得答案;
②利用點(diǎn)到直線的距離公式表示點(diǎn)B到的距離,利用弦長(zhǎng)公式表示,最后表示所求的面積,借助換元法求得函數(shù)的最大值即可.
(1)由題可知點(diǎn),所以可以設(shè)圓心
因?yàn)?/span>,所以由,解得,所以
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
(2)①證明:由(1)可得,
當(dāng)存在時(shí),設(shè)
將直線和圓的方程聯(lián)立:
得——Ⅰ
設(shè),,且,
那么,
所以——Ⅱ
由Ⅰ得,
將其代入Ⅱ化簡(jiǎn)可得;
當(dāng)不存在時(shí),顯然為或
此時(shí)或
則
綜上所述:為定值
②由題可知此時(shí)必然存在,仍設(shè)
則點(diǎn)B到的距離為:
由①可知Ⅰ式:
則
所以
故
令,則
其內(nèi)部函數(shù)開口向上,對(duì)稱軸為
故當(dāng)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某一部件由四個(gè)電子元件按如圖方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3或元件4正常工作,則部件正常工作.設(shè)四個(gè)電子元件的使用壽命(單位:小時(shí))均服從正態(tài)分布,且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立,那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】機(jī)床廠今年年初用98萬元購進(jìn)一臺(tái)數(shù)控機(jī)床,并立即投入生產(chǎn)使用,計(jì)劃第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬元,從第二年開始,每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬元,該機(jī)床使用后,每年的總收入為50萬元,設(shè)使用x年后數(shù)控機(jī)床的盈利額為y萬元.
(Ⅰ)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)從第幾年開始,該機(jī)床開始盈利(盈利額為正值);
(Ⅲ)使用若干年后,對(duì)機(jī)床的處理方案有兩種:
(1)當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí),以30萬元價(jià)格處理該機(jī)床;
(2)當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時(shí),以12萬元價(jià)格處理該機(jī)床.
請(qǐng)你研究一下哪種方案處理較為合理?請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
⑴當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;
⑵若存在與函數(shù),的圖象都相切的直線,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f′(x),若存在x0,使得f(x0)=f′(x0),則稱x0是f(x)的一個(gè)“巧值點(diǎn)”,則下列函數(shù)中有“巧值點(diǎn)”的是________.
①f(x)=x2;②f(x)=e-x;③f(x)=lnx;④f(x)=tanx;⑤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0,<φ<)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,它的最小正周期為π,則( )
A. f(x)的圖象過點(diǎn)(0,) B. f(x)在上是減函數(shù)
C. f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心是 D. f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市交通部門為了對(duì)該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管,隨機(jī)選取了100人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問卷調(diào)查,并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評(píng)分值(百分制)按照分成5組,制成如圖所示頻率分直方圖.
(1)求圖中x的值;
(2)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù);
(3)已知滿意度評(píng)分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)3:2,若在滿意度評(píng)分值為的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談,求2人均為男生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定下列四個(gè)命題,其中真命題是( )
A.垂直于同一直線的兩條直線相互平行
B.若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行,那么這兩個(gè)平面相互平行
C.垂直于同一平面的兩個(gè)平面相互平行
D.若兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】判斷下列命題的真假并說明理由.
(1)某個(gè)整數(shù)不是偶數(shù),則這個(gè)數(shù)不能被4整除;
(2)若,且,則,且;
(3)合數(shù)一定是偶數(shù);
(4)若,則;
(5)兩個(gè)三角形兩邊一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等,則這兩個(gè)三角形全等;
(6)若實(shí)系數(shù)一元二次方程滿足,那么這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根;
(7)若集合,,滿足,則;
(8)已知集合,,,如果,那么.
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