Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（2，

3

），且它的離心率e=

1

2

，直線L：y=kx+t與橢圓C₁交于M、N兩點(diǎn)，若直線L與圓C₂：（x-1）²+y²=1相切，橢圓上一點(diǎn)P滿足

OM

+

ON

=λ

OP

，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（2，

3

），且它的離心率e=

1

2

，結(jié)合a²=b²+c²得方程，聯(lián)立解方程組，求出橢圓的方程，由直線與圓相切可得k，t的關(guān)系式①，把直線方程代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韋達(dá)定理、向量運(yùn)算可得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程可得一等式②，由①②消掉k，得λ關(guān)于t的函數(shù)式，借助t的范圍即可求得λ的范圍．

解答： 解：由題意，

4 a2 + 3 b2 =1 a2-b2 a2 = 1 4

，解得a²=8，b²=6，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

8

+

y2

6

=1，
因?yàn)橹本�l：y=kx+t與圓（x-1）²+y²=1相切，
所以，

|t+k|

1+k2

=1，
所以2k=

1-t2

t

（t≠0），
把y=kx+t代入橢圓方程并整理得：（3+4k²）x²+8ktx+4t²-24=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=-

8kt

3+4k2

，y₁+y₂=

6t

3+4k2

，
因?yàn)?span id="5jtpdrv" class="MathJye">

OM

+

ON

=λ

OP

，所以P（-

8kt

(3+4k2)λ

，

6t

(3+4k2)λ

），
又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，
所以代入橢圓方程，整理可得λ2=

2t2

2+4k2

=

2

( 1 t2 )2+ 1 t2 +1

．
因?yàn)閠²＞0，所以(

1

t2

)2+

1

t2

+1＞1，
所以0＜λ²＜2，所以λ的取值范圍為（-

2

，0）∪(0，

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，韋達(dá)定理、判別式、點(diǎn)到直線的距離公式等是解決該類題目的基礎(chǔ)知識(shí)，要熟練掌握．