Question

15．已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=4ⁿ•a_n，求該數(shù)列的通項公式．

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式得到$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}={4}^{n}$，然后利用累積法結(jié)合等差數(shù)列的前n項和得答案．

解答 解：由a_n+1=4ⁿ•a_n，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}={4}^{n}$，
又a₁=1，
∴當n≥2時，
${a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}…\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$
=4^n-1•4^n-2…4¹•1=4^{[1+2+3+…+（n-1）]}=${4}^{\frac{n（n-1）}{2}}$=${2}^{{n}^{2}-n}$．
當n=1時上式成立，
∴${a}_{n}={2}^{{n}^{2}-n}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了累積法求數(shù)列的通項公式，是中檔題．