Question

已知函數(shù)f（x）=

x+a

x2+1

是奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)f（0）=0，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，利用作差判斷f（x₂）與f（x₁）的大小，根據(jù)單調(diào)性的定義可作出判斷．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x+a

x2+1

是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∴a=0，
∴f（x）=

x

x2+1

；
（2）f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂，且1＜x₁＜x₂，則
f（x₂）-f（x₁）=

x2

x22+1

-

x1

x12+1

=

(x1-x2)(x1x2-1)

(x22+1)(x12+1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴

(x1-x2)(x1x2-1)

(x22+1)(x12+1)

＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類題目的基本方法，要熟練掌握．