【題目】已知函數(shù).

（1）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求證:；

（2）若存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）

【答案】(1)見(jiàn)解析； （2）.

【解析】

（１）設(shè)，將“方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”轉(zhuǎn)化為“函數(shù)和有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求的最值問(wèn)題，得出m的取值范圍，問(wèn)題即可解決。（2）首先“存在使得成立”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“存在使得成立”，從而轉(zhuǎn)化為求的最大值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性并求其最值，即可解決問(wèn)題。

（1）若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

令，即函數(shù)和有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

而，

令，解得:，令，解得，

故在上遞減，在上遞増，

故，故，

故.

（2）若存在使得成立，

即存在使得成立，

令，則，

易得，

令，解得:，令，解得，

故在遞減，在遞增，

故的最大值是或，

而，

故.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形， 垂直于底面， ，點(diǎn)為線(xiàn)段（不含端點(diǎn)）上一點(diǎn).

（1）當(dāng)是線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成角的正弦值；

（2）已知二面角的正弦值為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖,天津之眼，全稱(chēng)天津永樂(lè)橋摩天輪，是世界上唯一一個(gè)橋上瞰景摩天輪，是天津的地標(biāo)之一 .永樂(lè)橋分上下兩層，上層橋面預(yù)留了一個(gè)長(zhǎng)方形開(kāi)口，供摩天輪輪盤(pán)穿過(guò)，摩天輪的直徑為110米，外掛裝48個(gè)透明座艙，在電力的驅(qū)動(dòng)下逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一圈大約需要30分鐘.現(xiàn)將某一個(gè)透明座艙視為摩天輪上的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，距離下層橋面的高度為113米，點(diǎn)在最低點(diǎn)處開(kāi)始計(jì)時(shí).

（1）試確定在時(shí)刻 (單位:分鐘)時(shí)點(diǎn)距離下層橋面的高度 (單位:米)；

（2）若轉(zhuǎn)動(dòng)一周內(nèi)某一個(gè)摩天輪透明座艙在上下兩層橋面之間的運(yùn)行時(shí)間大約為5分鐘，問(wèn)上層橋面距離下層橋面的高度約為多少米？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司的電子新產(chǎn)品未上市時(shí)，原定每件售價(jià)100元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該電子新產(chǎn)品市場(chǎng)潛力很大，該公司決定從第一周開(kāi)始銷(xiāo)售時(shí)，該電子產(chǎn)品每件售價(jià)比原定售價(jià)每周漲價(jià)4元，5周后開(kāi)始保持120元的價(jià)格平穩(wěn)銷(xiāo)售，10周后由于市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)日益激烈，每周降價(jià)2元，直到15周結(jié)束，該產(chǎn)品不再銷(xiāo)售.

（Ⅰ）求售價(jià)（單位：元）與周次（）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）若此電子產(chǎn)品的單件成本（單位：元）與周次之間的關(guān)系式為，，，試問(wèn)：此電子產(chǎn)品第幾周的單件銷(xiāo)售利潤(rùn)（銷(xiāo)售利潤(rùn)售價(jià)成本）最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，給出以下四個(gè)命題：

①異面直線(xiàn)與所成的角為定值；

②二面角的大小為定值；

③三棱錐的體積為定值；

其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）

A.0B.1C.2D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)，側(cè)面PAD⊥底面ABCD．

（1）求證：EF∥平面PAD；

（2）若EF⊥PC，求證：平面PAB⊥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】平面四邊形中， , 為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折得到四面體，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：四邊形為矩形；

（Ⅱ）當(dāng)平面平面時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)．

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值；

(Ⅱ)用定義證明函數(shù)在上的單調(diào)性；

(Ⅲ)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下面四個(gè)命題：

①在定義域上單調(diào)遞增；

②若銳角，滿(mǎn)足，則；

③是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若，則；

④函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是；

其中真命題的序號(hào)為______.

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