Question

某企業(yè)為打入國(guó)際市場(chǎng)，決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn)，已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：（單位：萬(wàn)美元）

	年固定成本	每件產(chǎn)品成本	每件產(chǎn)品銷售價(jià)	每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)
A產(chǎn)品	20	m	10	200
B產(chǎn)品	40	8	18	120

其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無(wú)關(guān)，m是待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料決定，預(yù)計(jì)m∈[6，8]，另外，年銷售x件B 產(chǎn)品時(shí)需上交0.05x²萬(wàn)美元的特別關(guān)稅，假設(shè)生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去．
（1）求該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤(rùn)y₁，y₂與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）分別求出投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的最大利潤(rùn)；
（3）該企業(yè)投資哪種產(chǎn)品可獲得最大利潤(rùn)？

Answer 1

解：（1）生產(chǎn)A產(chǎn)品的年利潤(rùn)y₁=10x-（20+mx）=（10-m）x-20（其中0＜x≤200，且x∈N）；
生產(chǎn)B產(chǎn)品的年利潤(rùn)y₂=18x-（8x+40）-0.05x²=-0.05x²+10x-40（其中0＜x≤120，且x∈N）．
（2）由m∈[6，8]，得10-m＞0，∴y₁=（10-m）x-20為增函數(shù)；
又0≤x≤200，x∈N∴x=200時(shí)，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤(rùn)為（10-m）×200-20=1980-200m（萬(wàn)美元）；
y₂=-0.05x²+10x-40=-0.05（x-100）²+460（其中0≤x≤120，x∈N），
∴x=100時(shí)，生產(chǎn)B產(chǎn)品有最大利潤(rùn)460（萬(wàn)美元）．
（3）由（y₁）_max-（y₂）_max=1980-200m-460=1520-200m，得：
當(dāng)1520-200m＞0時(shí)，6≤m＜7.6，此時(shí)投資A產(chǎn)品200件可獲得最大利潤(rùn)；
當(dāng)1520-200m=0時(shí)，m=7.6，此時(shí)生產(chǎn)A產(chǎn)品與B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤(rùn)；
當(dāng)1520-200m＜0時(shí)，7.6＜m≤8，此時(shí)投資B產(chǎn)品100件可獲得最大利潤(rùn)．
分析：（1）生產(chǎn)A產(chǎn)品的年利潤(rùn)y₁=每件產(chǎn)品銷售價(jià)×年產(chǎn)量-（固定成本+可變成本）；同理，生產(chǎn)B產(chǎn)品的年利潤(rùn)y₂也可求得．
（2）由m∈[6，8]，得10-m＞0，∴y₁=（10-m）x-20是增函數(shù)，且0≤x≤200，易知x=200時(shí)，y₁有最大值；
二次函數(shù)y₂=-0.05x²+10x-40，易求得當(dāng)x=100時(shí)，y₂有最大值．
（3）用y₁的最大值和y₂的最大值作差，比較可得何時(shí)投資哪種產(chǎn)品獲得利潤(rùn)最大．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利潤(rùn)函數(shù)模型的應(yīng)用；利潤(rùn)函數(shù)y=銷售價(jià)×產(chǎn)量-（固定成本+可變成本），在求最值時(shí)通常先考慮函數(shù)的定義域和單調(diào)性．