Question

函數(shù)f（x）=sinⁿx+cosⁿx（n∈N^*，n≠2，x∈R）的最小正周期為    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng) n=2k-1，k∈N^*時，f（x+2π）=f（x），證明2π 是 f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)n是大于2的偶數(shù)時，分析證明f（x）的最小正周期是．
解答：解：∵f（x）=sinⁿx+cosⁿx（n∈N^*，n≠2，x∈R）
∴（1）當(dāng) n=2k-1，k∈N^*時，f（x+2π）=f（x），
∴2π 是 f（x） 的一個周期．
令 f（x）=0，可得tanⁿx=-1，即tanx=-1．
解得x=+kπ，k∈N^*，下面證明2π 是 f（x）的最小正周期：
①當(dāng) T₁∈（0，2π）且T₁≠π是其周期，
取 x₁=-T₁．
則 f（x₁）≠0，f（x₁+T₁）=0．
所以T₁不是f（x） 的周期．
②當(dāng)T₂=π 時，
取x₂=0．
則 f（x₂）=1，f（x₂+T₂）=-1．
所以T₂不是f（x）的周期．
綜上，當(dāng) n=2k-1，k∈N^*時，
f（x）的最小正周期是 2π．
（2）當(dāng)n=2k+2，k∈N^*時，f（x+）=f（x），
∴是f（x）的一個周期．
當(dāng)T₃∈（0，）是其周期時，
取x₃=-T₃．
則 sinx₃，cosx₃∈（0，1）．
所以＜，
＜．
所以 f（x₃）＜1．
這與f（x₃+T₃）=1矛盾，
∴T₃不是f（x）的周期．
綜上，當(dāng)n=2k+2，k∈N^*時，
f（x）的最小正周期是．
綜上，當(dāng)n是奇數(shù)時，f（x）的最小正周期是2π；
當(dāng)n是大于2的偶數(shù)時，f（x）的最小正周期是．
故答案為：n為奇數(shù)時，2π；n為偶數(shù)時，．
點評：本題考查函數(shù)的周期的確定與證明，考查周期的定義的理解與應(yīng)用，考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想的綜合運用，考查分析問題、解決問題的能力，屬于難題．