Question

10．過雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作一條漸近線l的平行線交雙曲線C于A，再以A為圓心，2a為半徑作圓A，若圓A與l相交，則雙曲線C的離心率e范圍為（1，$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 求得漸近線方程，可得與漸近線平行的直線方程，代入雙曲線方程，求得A的坐標，再由直線和圓相交的條件：d＜r，運用點到直線的距離公式，化簡整理，可得b＜2a，再由離心率公式計算即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)漸近線l：y=$\frac{a}$x，
則過右焦點F（c，0）的直線且與l平行的直線為y=$\frac{a}$（x-c），
代入雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
可得x=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$，y=$\frac{b（{a}^{2}-{c}^{2}）}{2ac}$，
即為A（$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$，$\frac{b（{a}^{2}-{c}^{2}）}{2ac}$），
由直線l與圓A相交，可得
$\frac{|\frac{b（{a}^{2}+{c}^{2}）}{2c}-\frac{b（{a}^{2}-{c}^{2}）}{2c}|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$＜2a，
化簡可得2ac＞bc，
即為2a＞b，即4a²＞b²，
即5a²＞a²+b²=c²，
即有e²＜5，即e＜$\sqrt{5}$，
由e＞1，可得1＜e＜$\sqrt{5}$．
故答案為：（1，$\sqrt{5}$）．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查漸近線方程的運用和離心率的求法，考查直線和圓相交的性質(zhì)，屬于中檔題．