Question

若圓C經(jīng)過坐標原點和點（6，0），且與直線y=1相切．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）已知點Q（2，-2），從圓C外一點P向該圓引切線PT，T為切點，且|PT|=|PQ|，證明：點P恒在一條定直線上，并求出定直線l的方程；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中直線l與x軸的交點為F，點M，N是直線x=6上兩動點，且以M，N為直徑的圓E過點F，判斷圓E是否過除F點外的其它定點？若存在，求出定點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）圓心C（m，n），由題意得m=3，半徑r=|1-n|=

9+n2

，由此能求出圓C的方程．
（Ⅱ）設P（x，y），由題意得

(x-3)2+(y+4)2-25

=

(x-2)2+(y+2)2

，由此能證明點P恒在直線x-2y+4=0上．
（Ⅲ）法一：F（-4，0），由題意設點M（6，y₁），N（6，y₂），則圓心E（6，

y1+y2

2

），半徑r=

|y1-y2|

2

，由此能求出圓E過定點（16，0）和（-4，0）．
（Ⅲ）法二：根據(jù)圓的對稱性，又直線x=6過圓心，點F關(guān)于直線x=6的對稱點F′必在圓上，由此能求出圓E過定點（16，0）和（-4，0）．

解答： （Ⅰ）解：設圓心C（m，n），由題意得m=3，
半徑r=|1-n|=

9+n2

，解得n=-4，r=5，
∴圓C的方程為（x-3）²+（y+4）²=25．…（4分）
（Ⅱ）證明：設P（x，y），由題意得PT⊥CT，
∴|PT|=

|PC|2-|CT|2

=

(x-3)2+(y+4)2-25

，…（6分）
∵|PT|=|PQ|，
∴

(x-3)2+(y+4)2-25

=

(x-2)2+(y+2)2

，
整理得x-2y+4=0，
∴點P恒在直線x-2y+4=0上．…（8分）
（Ⅲ）解法一：F（-4，0），由題意設點M（6，y₁），N（6，y₂），
則圓心E（6，

y1+y2

2

），半徑r=

|y1-y2|

2

，
從而圓E的方程為（x-6）²+（y-

y1+y2

2

）²=

(y1-y2)2

4

，…（9分）
整理得x²+y²-12x-（y₁+y₂）y+36+y₁y₂=0，
又點F在圓E上，故

FM

•

FN

=0，得y₁y₂=-100，…（10分）
∴x²+y²-12x-（y₁+y₂）y-64=0，
令y=0，得x²-12x-64=0，解得x=16或x=-4，
∴圓E過定點（16，0）和（-4，0）．…（12分）
（Ⅲ）解法二：根據(jù)圓的對稱性，又∵直線x=6過圓心，
∴點F關(guān)于直線x=6的對稱點F′必在圓上…（10分）
∵F（-4，0），設F′（m，n），則

m-4 2 =6 n+0 2 =0

，∴F′（16，0）．
∴圓E過定點（16，0）和（-4，0）．…（12分）

點評：本題考查圓的方程的求法，考查點恒在定直線上的證明，考查圓是否經(jīng)過定點的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．