Question

觀察下列各不等式：
1+

1

22

＜

3

2

，
1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，
1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

，
1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+

1

52

＜

9

5

，
…
（1）由上述不等式，歸納出一個(gè)與正整數(shù)n（n≥2）有關(guān)的一般性結(jié)論；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你得到是結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由上述不等式，歸納出表達(dá)式的左側(cè)的關(guān)系與右側(cè)分子與分母的特征寫(xiě)出一個(gè)正整數(shù)n（n≥2）有關(guān)的一般性結(jié)論；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟，直接證明即可．

解答： 解：（1）觀察1+

1

22

＜

3

2

，
1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，
1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

，
1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+

1

52

＜

9

5

，
…
各不等式，得到與正整數(shù)n有關(guān)的一般不等式為
1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

2n-1

n

且n≥2．…（6分）
（2）以下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)不等式．
①當(dāng)n=2時(shí)，由題設(shè)可知，不等式顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即
 1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

k2

＜

2k-1

k

              …（8分）
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有 1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

k2

+

1

(k+1)2

＜

2k-1

k

+

1

(k+1)2

＜

2k-1

k

+

1

k(k+1)

  
=(2-

1

k

)+(

1

k

-

1

k+1

)=2-

1

k+1

=

2(k+1)-1

k+1

．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．…（14分）
根據(jù)①和②，可知不等式對(duì)任何n∈N₊且n≥2都成立．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理以及數(shù)學(xué)歸納法的證明方法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計(jì)算能力，放縮法的應(yīng)用．