Question

定義全集U的非空子集P的特征函數(shù)f_p（x）=

1，x∈P 0，x∈∁UP

，這里∁_UP表示集合P在全集U的補集．已知A，B均為全集U的非空子集，給出下列命題：
①若A⊆B，則對于任意x∈U，都有f_A（x）≤f_B（x）；
②對于任意x∈U，都有f_∁UA（x）=1-f_A（x）；
③對于任意x∈U，都有f_A∩B（x）=f_A（x）•f_B（x）；
④對于任意x∈U，都有f_A∪B（x）=f_A（x）+f_B（x）．
則正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專題：綜合題,集合

分析：根據(jù)題中特征函數(shù)的定義，利用集合的交集、并集和補集運算法則，對①②③④各項中的運算加以驗證，可得①②③都可以證明它們的正確性，而D項可通過反例說明它不正確．由此得到本題答案．

解答： 解：∵f_A（x）=

1，x∈A 0，x∈CUA

，f_B（x）=

1，x∈B 0，x∈CUB

，
而C_UA中可能有B的元素，但C_UB中不可能有A的元素
∴f_A（x）≤f_B（x），
即對于任意x∈U，都有f_A（x）≤f_B（x）故①正確；
對于B，∵f_∁UA（x）=

1，x∈CUA 0，x∈A

，
結(jié)合f_A（x）的表達式，可得f_∁UA（x）=1-f_A（x），故②正確；
對于C，f_A∩B（x）=

1，x∈A∩B 0，x∈CU(A∩B)

=

1，x∈A 0，x∈CUA

•

1，x∈B 0，x∈CUB

=f_A（x）•f_B（x），
故③正確；
對于D，f_A∪B（x）=

1，x∈A∪B 0，x∈CU(A∪B)

當某個元素x在A中但不在B中，由于它在A∪B中，故f_A∪B（x）=1，
而f_A（x）=1且f_B（x）=0，可得f_A∪B（x）≠f_A（x）•f_B（x）
由此可得④不正確．
故答案為：①②③．

點評：本題給出特征函數(shù)的定義，判斷幾個命題的真假性，著重考查了集合的運算性質(zhì)和函數(shù)對應(yīng)法則的理解等知識，屬于中檔題．