Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂是橢圓C₁與雙曲線C₂：

x2

4

-

y2

5

=1的公共焦點(diǎn)，A、B分別是橢圓C₁和雙曲線C₂在第二、四象限的公共點(diǎn)，若四邊形AF₁BF₂為矩形，則橢圓C₁的離心率是（　　）

• A、

  3

  5

• B、

  3

  2

• C、

  3

  14

• D、

  3 14

  14

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)|AF₁|=x，|AF₂|=y，利用雙曲線的定義，四邊形AF₁BF₂為矩形，可求出x+y的值，進(jìn)而可得橢圓的幾何量，即可求出橢圓的離心率．

解答： 解：設(shè)|AF₁|=x，|AF₂|=y，
∵點(diǎn)A為雙曲線C₂：

x2

4

-

y2

5

=1上的點(diǎn)，
∴|AF₂|-|AF₁|=2a=4，即y-x=4；①
又四邊形AF₁BF₂為矩形，
∴|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²，即x²+y²=36，②
由①②得：解得x+y=2

14

，
設(shè)橢圓C₁的實(shí)軸長(zhǎng)為2m，焦距為2n，
則2m=|AF₁|+|AF₂|=x+y=2

14

，2n=6，
∴橢圓C₁的離心率e=

n

m

=

6

2 14

=

3 14

14

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓與雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，求得|AF₁|+|AF₂|是關(guān)鍵，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．