Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和記為S_n．如果a₄=-12，a₈=-4．
（1）求S_n的最小值及其相應(yīng)的n的值；
（2）判斷{3an}是何種數(shù)列，并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）可設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₄=-12，a₈=-4，可解得其首項(xiàng)與公差，從而可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，數(shù)列{a_n}的前9項(xiàng)均為負(fù)值，第10項(xiàng)為0，從第11項(xiàng)開始全為正數(shù)，即可求得答案．
（2）利用等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷．

解答： 解：（1）設(shè)公差為d，由題意可得

a1+3d=-12 a2+7d=-4

，
解得a₁=-18，d=2，
故可得a_n=a₁+（n-1）d=2n-20，
令a_n=2n-20≥0，解得n≥10，
故數(shù)列{a_n}的前9項(xiàng)均為負(fù)值，第10項(xiàng)為0，從第11項(xiàng)開始全為正數(shù)，
故當(dāng)n=9或n=10時(shí)，S_n取得最小值，
故S₉=S₁₀=10a₁+

10×9

2

d=-90；
（2）b_n=3 an=3^2n-20，
∴

bn+1

bn

=

32n-18

32n-20

=9，
∴{3an}是等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的定義，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，及求和公式，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式分析S_n的最值是解決問題的捷徑，屬基礎(chǔ)題．