Question

已知A={x|x²-2（a+1）x+a（a+2）≤0}，B={x|

2x-1

x-2

≤0}
（Ι）  若a=1，求A∩B；
（ΙΙ） 若A∩B=∅，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ι）把a=1代入集合A中的不等式中確定出一元二次不等式，將不等式左邊分解因式后，根據(jù)兩數(shù)相乘積為負數(shù)，兩因式異號轉(zhuǎn)化為兩個不等式組，求出不等式組的解集即可得到原不等式的解集，確定出集合A，集合B中的不等式根據(jù)兩數(shù)相除商為負數(shù)，得到被除式與除式異號，轉(zhuǎn)化為兩個不等式組，求出不等式組的解集得到原不等式的解集，確定出集合B，找出兩集合的公共部分，即可求出兩集合的交集；
（ΙΙ）把集合A中的不等式分解因式后，根據(jù)a小于a+2，表示出不等式的解集，確定出集合A，由第一問求出的集合B，根據(jù)兩集合的交集為空集，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集，即可得到a的取值范圍．

解答：解：（Ι）若a=1，集合A中的不等式為：x²-4x+3≤0，
因式分解得：（x-1）（x-3）≤0，
可化為：

x-1≤0 x-3≥0

或

x-1≥0 x-3≤0

，
解得：1≤x≤3，
∴集合A={x|1≤x≤3}，
由集合B中的不等式

2x-1

x-2

≤0，
可化為：（2x-1）（x-2）≤0，且x-2≠0，
變形為：

2x-1≥0 x-2＜0

或

2x-1≤0 x-2＞0

，
解得：

1

2

≤x＜2，
∴集合B={x|

1

2

≤x＜2}，
則A∩B={x|1＜x＜2}；
（ΙΙ）集合A中的不等式x²-2（a+1）x+a（a+2）≤0，
分解因式得：（x-a）（x-a-2）≤0，
∵a＜a+2，∴a≤x≤a+2，
由第一問得到集合B={x|

1

2

≤x＜2}，
又A∩B=∅，
∴a+2＜

1

2

或a≥2，
則a的取值范圍為a＜-

3

2

或a≥2．

點評：此題考查了交集及其運算，涉及的知識有：一元二次不等式的解法，其他不等式的解法，以及集合中參數(shù)的取值問題，利用了轉(zhuǎn)化的思想，是高考中常考的基本題型．