Question

11．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，已知△ABC的面積S=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，c=$\sqrt{7}$，sin²A+sin²B-sin²C-sinAsinB=0．
（1）求角C；
（2）求a+b．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡已知的等式，得到三邊的關(guān)系式，再利用余弦定理表示出cosC，把得到的三邊關(guān)系式變形后代入求出cosC的值，根據(jù)C為三角形的內(nèi)角，可求C的值；
（2）利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，由三角形面積公式可求ab的值，利用余弦定理即可可求出a+b的值．

解答 解：（1）利用正弦定理化簡sin²A+sin²B-sinAsinB=sin²C，
得：a²+b²-ab=c²，即a²+b²-c²=ab，
∴根據(jù)余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵C為三角形的內(nèi)角，則解得：C=$\frac{π}{3}$．
（2）∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，解得ab=3，
則由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，可得：7=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=（a+b）²-9．解得：a+b=4．

點(diǎn)評 此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．